正难则反策略

前言

正难则反的策略，常常用于从正面思考问题难度比较大，或者从正面思考问题时需要考虑的情形比较多，而从而反思思考情形比较少，这时候我们常反其道而行之，会收到意想不到的效果。

什么时候想到这样的策略？

当题目涉及到至多至少型命题，或否定型命题，或唯一性命题时，我们应该想到这一策略；

典例剖析

例1 己知下列三个方程\(x^2+4ax-4a+3=0\)，\(x^2+(a-1)x+a^2=0\)，\(x^2+2ax-2a=0\)至少有一个方程有实根，求实数\(a\)的取值范围．

分析：如果从正面思考，那么应该考虑三个方程中仅有一个方程有实根[三种情形]，仅有两个方程有实根[三种情形]，三个方程都有实根[一种情形]，共有七种情形，想想都觉得南，所有这样的题目应该想到从反面求解，情形少，简单。解释：每一个方程分有解或无解两种情形，故三个方程共有\(2^3=8\)种情形；都没有解的情形仅仅一种，其反面应该是至少有一个方程有解；

求解：正难则反，假设没有一个方程有实根，即三个方程都没有实根，

则其必满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta_1=16a^2-4(3-4a)<0}\\{\Delta_2=(a-1)^2-4a^2<0}\\{\Delta_3=4a^2+8a<0}\end{array}\right.\)

解得\(-\cfrac{3}{2}<a<-1\)，

故三个方程中至少有一个方程有实根的实数\(a\)的取值范围为\(a\leqslant -\cfrac{3}{2}\)或\(a\geqslant -1\)。