gcd应用

$gcd(a,b)=min(qa-pb) (qa!=pb)$

可用欧几里得扩展证明， $q*a-p*b=g$，若有整数解则 $g=k*gcd(a,b),min(g)时 k=1$

传送门：Infinite Fence
题意：判断 $(r<b) p*b~(p-1)*b$之间 r的倍数是否少于k

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int r,b,k;
        scanf("%d%d%d",&r,&b,&k);
        int t=__gcd(r,b);
        if((max(r,b)-t-1)/min(r,b)+1<k) cout<<"OBEY"<<endl;
        else cout<<"REBEL"<<endl;
    }
    return 0;
}

 
 

$gcd(a,b)$的所有因子是a,b的所有公约数.

将a,b分解质因子，g=gcd(a,b)，质因子的指数 $p_g=min(p_a,p_b)$，所以这些公共质因子组成了g，他们所有的公约数都是有这些质因子组成的，所以直接求g的因子。
传送门：约数
题意：求a,b的全部公约数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
set<long long> st;
int main(){
    long long a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    long long Gcd=__gcd(a,b);
    long long t=sqrt(Gcd);
    for(int i=1;i<=t;++i){
        if(Gcd%i==0){
            st.insert(i);
            if(Gcd/i!=i) st.insert(Gcd/i);
        }
    }
    set<long long > ::iterator it=st.begin();
    for(;it!=st.end();++it){
        cout<<*it<<" ";
    }
    return 0;
}

 
传送门：A. Good ol’ Numbers Coloring

题意：可以把 $x*a+y*b$号牌子涂成白色，其他为黑色，假设有1-无穷个牌子，黑色牌子是否无穷
题解： $x*a+y*b=k*gcd(a,b)$若有有限个黑色牌子，在某一位置开始后 $k*g,k*g+1,k*g+2... ...$都是白色， $x*a+y*b$连续需 $gcd(a,b)=1,k*gcd(a,b)$才能连续

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
set<int> s;
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int a,b;
        s.clear();
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(__gcd(a,b)==1){
            cout<<"Finite"<<endl;
        }
        else cout<<"Infinite"<<endl;
    }
    return 0;
}