猫树是一种类似ST表的数据结构，初始化 \(O(n\log n)\) 查询 \(O(1)\)，不允许修改（或者说修改代价非常大）
ST表支持的运算要满足可重复贡献，即 \(x\times x=x\)，比如区间RMQ、区间gcd、区间lcm等
前缀和支持的运算要满足存在逆元（意味着存在逆运算），比如区间和、区间模乘等
而猫树则没有两个限制，猫树支持线段树支持的几乎所有操作，除去上述操作外还可以支持矩阵乘法、线性基（ST表也可以线性基但是不能判断是否线性相关）等
我们以ST表模板题为例介绍一下猫树
https://www.luogu.com.cn/problem/P3865
我们先假设n是2的整数次幂，如果不是就要在初始化的时候处理一下
猫树的第0层所有 \([i,i]\) 构成了 \(n\) 个区间，第1层所有 \([2i,2i+1]\) 构成了 \(\dfrac n 2\) 区间，第2层所有 \([4i,4i+3]\) 构成了 \(\dfrac n 4\) 个区间，依次类推
假设第 \(s\) 层有一个区间 \([l,r]\)，令它的中点 \(m=(l+r)/2\)，计算区间 \([l,m]\) 的后缀和，存在 \(cat[s][l...m]\) 中；同样计算区间 \([m+1,r]\) 的前缀和，存在 \(cat[s][(m+1)...r]\) 中
比如 \(n=8\) 的情况如下
| 原数组 | a[0] | a[1] | a[2] | a[3] | a[4] | a[5] | a[6] | a[7] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 第0层 | [ ] | [ ] | [ ] | [ ] | [ ] | [ ] | [ ] | [ ] |
| 第1层 | [ | ] | [ | ] | [ | ] | [ | ] |
| 第2层 | [ | - | - | ] | [ | - | - | ] |
| 第3层 | [ | - | - | - | - | - | - | ] |
| 原数组 | a[0] | a[1] | a[2] | a[3] | a[4] | a[5] | a[6] | a[7] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 第0层 | \(a[0]\) | \(a[1]\) | \(a[2]\) | \(a[3]\) | \(a[4]\) | \(a[5]\) | \(a[6]\) | \(a[7]\) |
| 第1层 | \(a[0]\) | \(a[1]\) | \(a[2]\) | \(a[3]\) | \(a[4]\) | \(a[5]\) | \(a[6]\) | \(a[7]\) |
| 第2层 | \(a[0]+a[1]\) | \(a[1]\) | \(a[2]\) | \(a[2]+a[3]\) | \(a[4]+a[5]\) | \(a[5]\) | \(a[6]\) | \(a[6]+a[7]\) |
| 第3层 | \(a[0]+...+a[3]\) | \(a[1]+...+a[3]\) | \(a[2]+a[3]\) | \(a[3]\) | \(a[4]\) | \(a[4]+a[5]\) | \(a[4]+...+a[6]\) | \(a[4]+...+a[7]\) |
我们发现对任意的查询区间 \([l_q,r_q]\)，一定存在猫树上的某个区间 \([l,r]\)，\([l,r]\) 包含了 \([l_q,r_q]\) 并且它的中点在 \([l_q,r_q]\) 内
因此我们只要找到这个区间，然后用后缀和+前缀和来计算答案
因为某种巧合，区间 \([l_q,r_q]\) 对应的猫树区间在第 \(\lfloor\log_2(l_q\)^\(r_q)\rfloor\) 层内
这里有个小操作，可以用 32-__builtin_clz(x) 代替 \(\lfloor\log_2(x)\rfloor\)（因为我懒得初始化log数组）
猫树的代码量其实还好，也就st表的两三倍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,_=(a);i>=_;i--)
typedef long long ll; const int inf=~0u>>2; const ll INF=~0ull>>2; ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)==-1)exit(0); return x;}
const int N=200010;
ll in[N];
struct cat{
#define U(a,b) max(a,b) //查询操作
#define a0 0 //查询操作的零元
#define logN 21
ll a[logN][N]; //内存等于2^k且大于等于两倍inn
void init(int s,int l,int r){
int m=(l+r)/2;
repeat_back(i,l,m)a[s][i]=U(a[s][i+1],in[i]);
repeat(i,m+2,r+1)a[s][i]=U(a[s][i-1],in[i]);
}
void init(int inn){ //建树
int n; for(n=1;n<inn;n<<=1); repeat(i,inn,n)in[i]=a0;
for(int len=1,s=0;len<=n;len<<=1,s++){
repeat(i,0,n)a[s][i]=in[i];
for(int i=0;i<n;i+=len)
init(s,i,i+len-1);
}
}
ll query(int l,int r){ //区间查询
int s=32-__builtin_clz(l^r);
if(l==r)return a[s][l];
else return U(a[s][l],a[s][r]);
}
}tr;
signed main(){
//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); //freopen("in.txt","r",stdin);
int n=read(),m=read();
repeat(i,0,n)in[i]=read();
tr.init(n);
while(m--){
int x=read()-1,y=read()-1;
printf("%lld\n",tr.query(x,y));
}
return 0;
}