参考链接：微信公众号 程序员小灰
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本文为半原创，结合了 程序员小灰和自己的一些理解和总结，如有错误，请帮忙指出，感谢。
B树的简单介绍
前面我们已经介绍了BST AVL树 BRT，那么，为什么要B树和B+树呢？他们和之前介绍的三种树有何区别？
其实最明显的差异体现在多叉上，前面介绍的三种树都是二叉树。而B树和B+树是多路查找树，目的是优化磁盘访问的速度。之前介绍的三种树是索引树，节点直接的连接可以理解为指针，即每个节点在磁盘中散列存储，像这样
想要访问红色节点，需要先访问绿色节点，根据绿色节点的左子树索引查找到红色节点位置，再访问红色节点。
我们看下之前三种树的磁盘访问
假设访问如下的树的节点10
第一次访问
第二次访问
第三次访问
第四次访问
不难看出，一个节点的访问磁盘的次数取决于该节点在树上的高度。
因此，为了减少访问磁盘的次数，就必须降低树的高度，使树变得“矮胖”，而B树和B+树都具有矮胖的特点
B树的定义
一个m阶的B树具有如下几个特征：（m阶中的m可以理解为B树的分叉数，比如5阶B树最大分叉是5）
- 1.根结点至少有两个子女。
- 2.每个中间节点包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2向上取整 <= k <= m
- 3.每一个叶子节点包含k-1个元素，其中 m/2向上取整 <= k <= m
- 4.所有的叶子结点都位于同一层。
- 5.每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。
实例
这是一个B树
但实际上应该是这样的
每个节点应该有n个数据域和n+1个指针域组成，叶子节点的指针域都为空。但为了作图简单，就不将指针域画出来了
实际m阶B树节点结构如下：
除了叶子节点，其余节点的指针域可以通过双亲节点或者孩子节点的索引看出来。
以节点2，6为例，我们看到
1<2
2<3<5<6
6<8
B树的磁盘访问
以上面的树为例
第1次磁盘IO：
在内存中定位（和9比较）：
第2次磁盘IO：
在内存中定位（和2，6比较）：
第3次磁盘IO：
在内存中定位（和3，5比较）：
其实从图中可以看出，相同的数字，构建的平衡二叉树和B树的高度相差一。
从上面我们看出
AVL树进行了三次IO访问和5次内存比较
B树进行了4次IO访问和4次内存比较。
我们知道，内存的访问速度是远远大于外存（IO）访问的速度的，因此，当m阶B树的m越大，单一节点的元素树越多，B树的高度就越低，IO访问的次数就越少。但是，也不是m越大越好，当m大到m个数据，外存一个磁盘页装不下就糟了。因此m是受磁盘页大小限制的
B树的插入和删除
B树也是一种自平衡树
插入分以下几种情况
1.可以直接插入的情况
2.插入后破环平衡（即破环B树的定义中的任意一个性质），需要进行分裂
删除
1.可以直接删除
2.直接删除后破环平衡，先向左右子树“借”节点
3.直接删除后破环平衡，左右子树“借”不到节点，合并子树
插入删除操作比较复杂，具体示例请参照参考链接
B树的应用
文件系统索引和部分非关系型数据库，如MongoDB。但是大多数关系型数据库使用B+树作为索引。那么B+树和B树相比有何优势呢？
提前透露一下，B+树适用于范围查找
B+树
定义
- 1.有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。
- 2.所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
- 3.所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。
如下便是一个B+树
可以看到：
1 每一个双亲节点的元素均会出现在孩子节点中，并且是子节点的最大（或最小）元素，也就是说，B+树存在重复元素。
2 其次可以看到叶子节点用指针相连，形成一个链表。
3 另外，要注意，在当前树中，根节点的15代表整棵树的最大元素，所以，对B+树做插入是，要保证最大元素必定在根节点出现过（如果双亲节点的元素均会出现在孩子节点中，并且是子节点的最小元素，则需要反过来）
4 由于每个双亲节点均在孩子节点出现，也就是说，叶子节点包含了全部节点（当然，还包括没有在双亲节点出现的元素）
B+树的查找
之前我看了B树查找的过程，那么在B+树中是如何查找元素3呢？
一共进行了3次IO
首先，由于B+树只有根节点存储了元素数据，所以必须查到叶子节点。其次由于非叶子节点只存储索引，所以可以存储的索引树更多，能够使得B+树的高度更低，IO次数更少。
相比于B树， B+树的优势
我们看下B树的范围查找（3-11）
自顶向下，查找到范围的下限（3）–>中序遍历到元素6–>中序遍历到元素8–>中序遍历到元素9–>中序遍历到元素11，遍历结束
同样的元素构成的B+树的相同范围查找如下
自顶向下，查找到范围的下限（3）–>通过链表指针，遍历到元素6, 8–>通过链表指针，遍历到元素9, 11，遍历结束
所以说，相比于B树 B+树的优势有：
1.单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少。（单一节点存储更多的元素是因为B+的非叶子节点不存储数据，存的是索引）
2.所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定。（同样是因为非叶子节点不存储数据，数据只有叶子节点有）
3.所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。
二叉搜索树 平衡二叉树 红黑树 B树 B+树的简单对比
| 简称 | 特点 | 平衡性 | 查找性能 | 插入 | 删除 | 优势 | 应用 | |
| 二叉搜索树 | BST | 索引树，由于构建不稳定，查找效率不稳定 | 无 | 不稳定，跟具体构建树相关，最好O(logn)，最差O（N） | 直接插入 | 删除的是叶子节点或只有左或右子树比较简单，如同时存在左右子树，那么要找到前驱或后继代替原先节点，再删除 | 性能高于线性查找 | 暂未找到，欢迎补充 |
| 平衡二叉树 | AVL | 索引树，BST进化版，自平衡，查找效率稳定 | 有 | 最好最坏都是O(lgn) | 最多需要2次旋转 | 最多需要lgN次旋转（参考，本人未证实） | 高度平衡，进一步提升查询效率 | 暂未找到，欢迎补充 |
| 红黑树 | RBT | 索引树，BST进化版，自平衡，查找效率相对稳定 | 有 | 基本维持在O(lgn),最坏比AVL略差(2lg(n+1)) | 最多需要2次旋转，3次变色 | 最多需要3次旋转（参考，本人未证实） | 自平衡，进一步提升查询效率 | Java中TreeSet和TreeMap，JDK 8以后，HashMap的设计 |
| B树 | ^ | 多路查找树，提升IO效率，索引树进化而来 | 有 | IO次数取决于高度，减少IO次数 | 1.可以直接插入的情况2.插入后破环平衡，需要进行分裂 | 1.可以直接删除2.直接删除后破环平衡，先向左右子树“借”节点3.直接删除后破环平衡，左右子树“借”不到节点，合并子树 | 降低IO次数 | 文件系统索引和部分非关系型数据库，如MongoDB |
| B+树 | ^ | 多路查找树，提升IO效率，B树进化版 | 有 | 进一步减少IO次数 | 类似B树 | 类似B树 | 进一步降低IO次数，范围查询方便，查询性能稳定 | 大多关系型数据库使用B+树作为索引 |
另外提一下哈夫曼树，上面的几个都是查找树，而哈夫曼树的设计不是为了查找，而是为了减少编码长度。哈夫曼树多应用于压缩技术（哈夫曼编码）