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为什么格上能够构造全同态加密-1
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本文由陈智罡博士撰写。
目前只有在格上能够构造全同态加密方案。
为什么呢?
早在2015年,这个问题就萦绕在我脑海。当时对GSW这个方案很感兴趣,GSW方案中密文被表达成了一个矩阵,矩阵与矩阵的乘积不会导致密文维数的增长,所以不需要使用密钥交换来约减密文的维数。此外,对噪音的约减也包含在了GSW密文的乘法中,使得GSW方案非常简洁。
最重要的是该方案具有通用性。你把(环)LWE加密方案,NTRU加密方案,整数上的加密方案直接带进去,就可以得到一个GSW风格的全同态加密方案。这种通用性是来自于什么呢?
学术界最大的特征是对问题的追问。工业界最大的特征是对应用场景的追问。
抽象解密结构
通过对GSW方案的分析,发现GSW在解密过程中的结构是:sm+e mod q,其中s是密钥,m是消息,e是噪音,q是模。这种结构不是GSW独有的,而是在格上NTRU加密方案中就是这样的结构。于是我们的目光转向了解密过程。
在全同态加密中分析同态性时,都是以解密作为出发点。这是为什么?
以LWE加密方案的解密为例:<c,s>=(q/2)m+e mod q,其中c是密文,s是密钥,m是消息,e是噪音,q是模。仔细观察解密式子,会发现这里面把密文、明文、噪音以及密钥的关系都呈现出来了。而全同态加密的本质就是密文计算对应于明文计算,所以密文和明文之间的关系很重要。它们之间的关系是能否获得同态性的关键。
除了上述解密形式,格上加密方案还有其它解密形式吗?
有的,格上NTRU加密方案的解密形式是:cs=sm+e mod q。
LWE加密方案还有一种变种,其解密形式是:<c, s>=m+2e mod q。
此外,你也可以把整数加密方案上的解密形式拿来,是类似的。为了研究如何获得同态性,我们定义了一个结构:抽象解密结构。如下所示:
c⊙s=xm+e mod q;
其中是⊙抽象计算符号,x是常数。 该等式称为密文 c 与密钥 s 计算结果的抽象解密结构。由于每次加密时密文、明文和噪音都是变化的,而密钥是不变的,可将 c、 m 和 e视为变量, s 视为常量。
从抽象解密结构 c⊙s = x⋅m + e 可以清楚的看到密文 c、明文 m 和噪音 e 三者之间的关系是一次形式,即线性关系。这种线性关系直接蕴含了同态性,这也是为什么格上能够构造全同态加密的根本原因。我们的论文中对其进行了详细论证。
定义这个“抽象解密结构”有什么用呢?
非常有用。通过我们定义的这个工具能够衡量如何获得同态性,分析噪音增长主要项,如何表示全同态加密特性的获得,以及解释GSW为什么具有通用性。
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全同态加密资源汇总
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全同态加密与机器学习论文列表:https://zhigang-chen.github.io/FHE%20and%20Machine%20Learning%20References.html
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