【算法】--概率分析和随机算法

一、雇佣问题

（给定输入实例，算法的每次执行结果相同）
**问题：**面试n个人，雇用一个职员。雇用原则，在面试第i个人时，如果该面试者比前面所有面试者都好，就录用。已知面试代价为C_i，录用代价为C_h，请问成本为多少？

HIRE-ASSISTANT(n) 
 best ← 0  --> candidate 0 is a least-qualified dummy candidate
 for i ← 1 to n 
       do interview candidate i 
             if candidate i is better than candidate best 
                   then best ← i 
                        hire candidate i 

雇佣问题成本的概率分析

二、随机算法

（给定输入算法多次运行结果不一定相同）

RANDOMIZED-HIRE-ASSISTANT(n) 
 randomly permute the list of candidates 
 best ← 0 →candidate 0 is a least-qualified dummy candidate 
 for i ← 1 to n 
       do interview candidate i 
            if candidate i is better than candidate best 
                  then best ← i 
                          hire candidate i 

方法一:

PERMUTE-BY-SORTING(A) 
  n ← length[A] 
  for i ← 1 to n 
      do P[i] = RANDOM(1, n3) 
  sort A, using P as sort keys
  return A 

分析：

• 各优先数唯一的概率为≥1-1/n
• 算法运行时间为Θ(nlgn)
• line 4 sorting, 使用合并排序等
• Lemma 假定各优先数唯一，则算法产生的是输入的均匀随机排列

方法二：
（就地枚举，一般就地算法指的是辅助空间为C，与n无关）

RANDOMIZE-IN-PLACE(A) 
 n ← length[A] 
 for i ← 1 to n 
       do swap A[i] ↔ A[RANDOM(i, n)] 

分析:

• 算法运行时间为Θ(n),line 2 for循环
• Lemma 算法产生的是输入的均匀随机排列

三、在线雇佣问题

原则：面试每位申请者，立即决定去留
折衷：最小化面试的人数 vs. 被录用者质量最优（两者矛盾）
方法：
打分：score(i)，并且假定分数唯一
选择一个正整数k：对前k个人，只记分不录用；此后出现的第一个高分者被录用；若后n-k个人分数低于先前的最高分数者，录用第n个人

ON-LINE-MAXIMUM(k, n) 
 bestscore ← -∞ 
 for i ←1 to k 
      do if score(i) > bestscore 
          then bestscore ← score(i) 
 for i ← k + 1 to n 
       do if score(i) > bestscore 
            then return i 
 return n 

分析：
假设k固定， $M(j)=\max _{1 \leq i \leq j}\{ {score}(i)\}$为前j人最高分；
事件 $S$：成功地选取最优者；
事件 $S_{i}$:成功地选取最优者，并且是第i人；
因为： ${Pr}\left\{S_{i}\right\}=0 \quad i \leq k$
故： ${Pr}\{S\}=\sum_{i=k+1}^{n} {Pr}\left\{S_{i}\right\}$
$S_{i}$满足的情况：

1. 事件 $B_{i}$：最优者在i产生；
2. 事件 $O_{i}$：位置 $k+1 \leq j \leq i-1$上的申请者未被选中；

事件 $B_{i}$与事件 $O_{i}$相互独立，故 ${Pr}\left\{S_{i}\right\}={Pr}\left\{B_{i} \cap O_{i}\right\}={Pr}\left\{B_{i}\right\} {Pr}\left\{O_{i}\right\}$；
又因为 ${Pr}\left\{B_{i}\right\}=\frac{1}{\mathrm{n}}, {Pr}\left\{O_{i}\right\}=\frac{k}{\mathrm{i}-1}$；
所以： ${Pr}\{S\}=\sum_{i=k+1}^{n} {Pr}\left\{S_{i}\right\}=\sum_{i=k+1}^{n} \frac{k}{n(i-1)}=\frac{k}{n} \sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{i-1}$；
由积分不等式 $\int_{k}^{n} \frac{1}{x} d x \leq \sum_{i=k}^{n-1} \frac{1}{i} \leq \int_{k-1}^{n-1} \frac{1}{x} d x$，可得：
$\frac{k}{n}(\ln n-\ln k) \leq {Pr}\{S\} \leq \frac{k}{n}(\ln (n-1)-\ln (k-1))$；
令下界最大，对k求导可得 $\frac{1}{n}(\ln n-\ln k-1)$；
令其为零，得 $k=\frac{n}{e}$；
}(\ln (n-1)-\ln (k-1)) $； 令下界最大，对k求导可得$\frac{1}{n}(\ln n-\ln k-1) $； 令其为零，得$k=\frac{n}{e} $； 综上，$k=\frac{n}{e} $时，下界最大值是$\frac{k}{n}(\ln n-\ln k)=\frac{1}{e}$