关于形式语言与自动机的DFA与NFA一个小小的思考

来自课本的一个问题，没有解析，记录个人分析

至少是2ⁿ次方个，如何推导？
先用表格列举几个，看有无规律：

这就是列举的前11个状态，我们可以发现:

• 首先只有一个状态元素的集合只有{q0};
• 拥有两个状态元素的集合是{q0,q1},{q0,q2},{q0,q3}…{q0,qn}
• 拥有三个状态元素的集合是{q0,q1,q2},{q0,q1q3},{q0,q1,q4}…{q0,q1,qn}…{q0,q2,q3}…

根据以上的列出情况加上由子集构造可以知道，其实就是集合的组成排列组合。
我们可以先不看每一组中的q0（q0个数为C(n,0),即一个）因为这是每一个集合中必有得状态元素，那么组合情况就是
{q1},{q2}…{qn} + {q1,q2},{q1,q3}…{q1,qn},{q2,q3}…+{q1,q2,q3…,qn}
{q1},{q2}…{qn}个数就为C(n,1),
{q1,q2},{q1,q3}…{q1,qn},{q2,q3}…个数就为C(n,2),
{q1,q2,q3…,qn}个数就为C(n,n)
那么加上q0之后，求和为C(n,0) + C(n,1)+ C(n,2)+…C(n,n) = 2ⁿ

那为什么是至少2ⁿ个呢？
如果少于2ⁿ个，比如2ⁿ-1个呢？假设最大集合数是2ⁿ- k，那么很明显与我们上述推断的结论矛盾，即存在某一个状态集合是我们达不到的，那么更根据组成类似的集合构成C(m,n)，那么如果某一个状态不能达到，那么所有的状态集合中的数目都要减一，即2^n-1个。反之，达到的话，就有2ⁿ。
或者归纳证明：
只有一个状态元素，如图

那么很明显满足上述表达式，最少是2个状态数目；
假设C(n-1,0) + C(n-1,1)+ C(n-1,2)+…C(n-1,n-1) = 2^n-1成立，那么在最后再加入一个状态元素，那么C(n-1,0) + C(n-1,1)+ C(n-1,2)+…C(n-1,n-1) + 2^n-1 = 2^n-1+ 2^n-1 = 2ⁿ,即证成立。
那为啥加上2^n-1，这是因为已经存在2^n-1个状态集合，按照上述举例的规律，每一个都增加的一个元素即可，状态数目翻倍。
个人理解是因为加入q0一共是n+1个状态元素，最大可能有2ⁿ⁺¹个组合的状态集合。