CF::Gym题目页面传送门
有\(n\)组任务，每组\(m_i\)个，第\(i\)组第\(j\)个任务的编号为\(\sum\limits_{k=1}^{i-1}m_k+j\)。第\(i\)个任务需要\(a_i\)个单位时间完成。刚开始时刻为\(0\)，每完成一个任务\(i\)当前的时刻就增加\(a_i\)。若第\(i\)个任务完成的时刻为\(t\)，则受到的处罚为\(b_it\)。从开始做一个任务到结束不允许做其他任务，从开始做某组任务到结束不允许做其他组的任务。求一个最优的完成任务顺序，使得受到的总处罚最小。输出最小总处罚和顺序。若有多解，输出任一。
对于任何一个任务组的顺序，显然在此顺序下使得总处罚最小的每组组内顺序是不变的。于是考虑先求出每组组内最优顺序，再求任务组的最优顺序。
像这种求最优顺序的题，往往都有一个套路。对于每组\(i\)，考虑交换任意一种顺序\(ord\)下任意一个相邻对\((ord_x,ord_{x+1})\)，使它变成\((ord_{x+1},ord_x)\)，会不会更优。显然，\(ord_{1\sim x-1},ord_{x+2\sim m_i}\)对总处罚的贡献和不会因为\(ord_x,ord_{x+1}\)交换而变化，我们只需要关心\(ord_x,ord_{x+1}\)对总处罚的贡献和。设\(sum=\sum\limits_{j=1}^{x-1}a_{ord_j}\)，则\(ord_x,ord_{x+1}\)顺序下它们对总处罚的贡献和为\(b_{ord_x}(sum+a_{ord_x})+b_{ord_{x+1}}(sum+a_{ord_x}+a_{ord_{x+1}})=b_{ord_x}sum+b_{ord_x}a_{ord_x}+b_{ord_{x+1}}sum+b_{ord_{x+1}}a_{ord_x}+b_{ord_{x+1}}a_{ord_{x+1}}=(b_{ord_x}+b_{ord_{x+1}})sum+a_{ord_x}b_{ord_x}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_{x+1}}+a_{ord_x}b_{ord_{x+1}}\)；类似地，可以求出\(ord_{x+1},ord_x\)顺序下对总处罚的贡献和为\((b_{ord_x}+b_{ord_{x+1}})sum+a_{ord_x}b_{ord_x}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_{x+1}}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_x}\)。当\((b_{ord_x}+b_{ord_{x+1}})sum+a_{ord_x}b_{ord_x}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_{x+1}}+a_{ord_x}b_{ord_{x+1}}>(b_{ord_x}+b_{ord_{x+1}})sum+a_{ord_x}b_{ord_x}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_{x+1}}+a_{ord_{x+1}}b_{ord_x}\)，即\(a_{ord_x}b_{ord_{x+1}}>a_{ord_{x+1}}b_{ord_x}\)时，显然可以交换\(ord_x,ord_{x+1}\)得到更优策略。我们将这样在一个顺序内可以交换使得策略更优的相邻对称为“相邻逆序对”。
显然，有相邻逆序对的顺序一定不是最优的。我们暂且认为没有相邻逆序对的顺序一定是最优的。于是我们定义一个比较器\(cmp(x,y)=[a_xb_y<a_yb_x]\)，按照它将该组内所有元素排序，这样得到的顺序一定是最优的。\([a_xb_y<a_yb_x]\)可以变形成\(\left[\dfrac{a_x}{b_x}<\dfrac{a_y}{b_y}\right]\)，这样一来，比较器\(cmp\)的合法性显然。此时，“没有相邻逆序对的顺序一定是最优的”这个结论正确性也很显然了：排完序后，若\(\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}\)，则\(x\)和\(y\)一定相邻，任意\(2\)个有序的顺序一定可以通过重新排列每个相等段互相到达，此时易证所有有序顺序的总处罚相等，得证。
求出了每组组内的最优顺序，现在来求任务组的最优顺序。上面是默认每组的开始时间为\(0\)的，而现在不一定。设\(sum\_a_i=\sum\limits_{j=\sum\limits_{k=1}^{i-1}m_k+1}^{\sum\limits_{k=1}^im_k}a_j,sum\_b_i=\sum\limits_{j=\sum\limits_{k=1}^{i-1}m_k+1}^{\sum\limits_{k=1}^im_k}b_j\)。对于一个顺序\(ord\)，第\(ord_i\)组的开始时间显然是\(\sum\limits_{j=1}^{i-1}sum\_a_{ord_j}\)，这比开始时间为\(0\)对总处罚的贡献增加了\(sum\_b_{ord_i}\sum\limits_{j=1}^{i-1}sum\_a_{ord_j}\)。于是，我们可以把每个任务组看成一个大任务，按照与上面类似的方法定义一个比较器\(cmp'(x,y)=\left[sum\_a_xsum\_b_y<sum\_a_ysum\_b_x\right]\)并按照它将所有任务组排序，即可得到最优顺序。
下面是AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define pb push_back
const int N=500,M_I=100;
int n;//任务组数
int m[N+1];//每组任务个数
int a[N+1][M_I+1]/*所需时间*/,b[N+1][M_I+1]/*处罚系数*/;
int sum_a[N+1]/*该组内所有任务所需时间之和*/,sum_b[N+1]/*该组内所有任务处罚系数之和*/;
int now;//当前正在处理的任务组
bool cmp(int x,int y){return a[now][x]*b[now][y]<a[now][y]*b[now][x];}//给组内任务排序的比较器
bool cmp0(int x,int y){return sum_a[x]*sum_b[y]<sum_a[y]*sum_b[x];}//给任务组排序的比较器
vector<int> ord[N+1];
signed main(){
// freopen("student.in","r",stdin);freopen("student.out","w",stdout);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>m[i];
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m[i];j++)cin>>a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m[i];j++)cin>>b[i][j];
int ans=0;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m[i];j++)sum_a[i]+=a[i][j],sum_b[i]+=b[i][j];//计算sum_a,sum_b
vector<int> v(m[i]);
for(int j=1;j<=m[i];j++)v[j-1]=j;
now=i;
sort(v.begin(),v.end(),cmp);//排序
int tim=0;
for(int j=0;j<m[i];j++)ans+=b[i][v[j]]*(tim+=a[i][v[j]]);//贡献答案
for(int j=0;j<m[i];j++)ord[i].pb(cnt+v[j]);//记录最优顺序
cnt+=m[i];
}
vector<int> v(n);
for(int j=1;j<=n;j++)v[j-1]=j;
sort(v.begin(),v.end(),cmp0);//排序
int tim=0;
for(int i=0;i<n;i++)ans+=tim*sum_b[v[i]],tim+=sum_a[v[i]];//贡献答案
cout<<ans<<"\n";//输出答案
for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m[v[i]];j++)cout<<ord[v[i]][j]<<" ";//输出顺序
return 0;
}