gym101623I Installing Apps
你有 \(n\) 个应用需要安装，手机共有 \(m\) 空间，第 \(i\) 个应用所需下载空间为 \(d_i\) ，下载完后的安装空间为 \(s_i\) ，即下载前必须要有至少 \(d_i\) 剩余空间，安装前必须要有至少 \(s_i\) 剩余空间，下载完后必须立即安装，下载包会被删掉，即一个应用安装完成后只会占用 \(s_i\) 空间。找到一种安装顺序，使得能安装的应用数最大
\(n\leq500;\ m\leq10^4\)
考虑只有两个应用 \(i,\ j\) 时，如何考虑顺序。若 \(s_i+d_j<s_j+d_i\) 则 \(i\) 应当排在 \(j\) 之前，很好理解（）
照上述比较方式将所有应用排序，解决了顺序问题，之后直接背包即可。可以设状态 \(f_{i,\ j}\) 为考虑了排序后前 \(i\) 个应用，安装 \(j\) 个应用至少需要多少空间，这样是 \(O(n^2)\) 的
还有一道经典的题 CF277D Google Code Jam （）
Atcoder Educational DP Contest X - Tower
有 \(n\) 个物品，每个物品有重量 \(w_i\) ，承重量 \(s_i\) ，权值 \(v_i\) 。你需要从中选任意个物品，按照任意顺序从上到下堆叠，对于选出的任意一个物品 \(j\) ，需要满足其上方物品重量之和 \(\leq s_i\) ，找到一种合法方案，使得选出物品 \(v_i\) 之和最大
- \(n\leq10^3\)
- \(w_i,\ s_i\leq10^4\)
- \(v_i\leq10^9\)
当两个物品 \(i,\ j\) 满足 \(w_i-s_j<w_j-s_i\) 时， \(i\) 要放在 \(j\) 上方，因为此时 \(j\) 作为底部显然能承受更多重量，因此按照 \(w_i+s_i\) 升序排序，再背包即可
有 \(n\) 个商店，你在 \(0\) 时刻在家，从家到任意商店或从一家商店走到另一家商店需要花费 \(1\) 单位时间。如果你在 \(t\) 时刻到达了商店 \(i\) ，你可以花费 \(a_i\times t+b_i\) 时间购物，你不能在同一个商店多次购物。你想知道在 \(T+0.5\) 时刻之前你最多能在多少个商店中购物
- \(n\leq2\times10^5\)
- \(a_i,\ b_i,\ T\in[0,\ 10^9]\)
当只有两个商店 \(i,\ j\) ，当前在 \(t\) 时刻，若先访问 \(i\) 后访问 \(j\) ，时间花费为 \(t+a_i\times (t+1)+b_i+1+a_j\times(t+1+a_i\times(t+1)+b_i+1)+b_j\) ，否则为 \(t+a_j\times(t+1)+b_j+1+a_i\times(t+1+a_j\times(t+1)+b_j+1)+b_i\) ；因此化简得，当 \(a_j(b_i+1)<a_i(b_j+1)\) 时， \(i\) 应当在 \(j\) 之前访问
但是由于选择购物的商店个数是 \(O(n)\) 的，不能直接背包。注意到一个性质：对于商店 \(i\) ，当 \(a_i>0\) 时，当前时刻 \(t\) 至少翻倍，因此必定不会访问多于 \(\log(T)\) 个 \(a_i>0\) 的商店。因此将 \(a_i>0\) 的商店与 \(a_i=0\) 的分开考虑，前者的贡献可以由 \(n\log T\) 背包得出，后者必定会在 \(a_i>0\) 的商店访问完后才访问，因此拉出来按 \(b_i\) 升序考虑即可