题干：
思路：
首先这个题n小于55，数据真的小，普通的递归可以解决
不妨把牛分为四个等级：
f1：小牛一级
f2：小牛二级
f3：小牛三级
f4：成年母牛
设F(N)表示第N年牛的数量, fx(N)表示第N年三级小牛的数量
（1）那么显然，F(N) = F(N - 1) + f4(N - 1) + f3(N - 1) ,这是因为f3牛下一年就要生产了,所以增加数量是原本有的f4加上f3的数量
（2）
-
f4(N - 1)是上一年的f4牛 + 上一年f3牛，也就是f4(N - 1) = f4(N - 2) + f3(N - 2)
-
f3(N - 1)牛是由上一年f2牛进化而来，也就是f3(N - 1) = f2(N - 2)
综合上面两个以及（1），得到：F(N) = F(N - 1) + f4(N - 2) + f3(N - 2) + f2(N - 2)
（3）再根据上述进化理论推导一次
-
f4(N - 2) = f4(N - 3) + f3(N - 3)
-
f3(N - 2) = f2(N - 3)
-
f2(N - 2) = f1(N - 3)
综合上面，得到：F(N) = F(N - 1) + f4(N - 3) + f3(N - 3) + f2(N - 3) + f1(N - 3)
而又某一年的牛首先等于各等级牛数量的和！！
于是：F(N) = F(N - 1) + F(N - 3)
推导完毕
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代码1：根据子结构，直接递归就行
def cow(n):
print(n)
if n <= 3:
return n
return cow(n - 1) + cow(n - 3)
while True:
d = int(input())
if d == 0:
break
print(cow(d))
看起来多么的简洁易懂啊对吧，实际上电脑快算炸了！！！极其不推荐这种方法！！！
也可坑是我才疏学浅，不懂得优化，反正我是不知道怎么把这个优化成尾递归。。欢迎大佬的改进意见
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代码2：
直接用矩阵模拟每一年的增长情况，结合快速幂（不懂快速幂的自行百度）
这总算法虽然很清晰，但是实际上因为n最大才55，所以这种方法在速度上的优势完全体现不出来
而对于斐波那契系列的题，这种方法却是终极大法，比如算第100万个斐波那契数，别的方法起码要以分钟来计算时间，而矩阵加快速幂仅仅不到一秒！
（感兴趣可以看：https://blog.csdn.net/CxsGhost/article/details/103832939）
我测试了2万个数据的一次性输入，完全可以在一秒内完成，对付这道题足矣：
import numpy as np
def cow(n):
f4 = 1
f3 = 0
f2 = 0
f1 = 0
matrix_1 = np.array([[f4],
[f3],
[f2],
[f1]], dtype=np.int64)
matrix_2 = np.array([[1, 1, 0, 0],
[0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 1],
[1, 1, 0, 0]], dtype=np.int64)
n = n - 1
while n != 1: # 快速幂部分
if n % 2 == 0:
matrix_2 = np.dot(matrix_2, matrix_2)
n /= 2
elif n % 2 == 1:
matrix_1 = np.dot(matrix_2, matrix_1)
matrix_2 = np.dot(matrix_2, matrix_2)
n = (n - 1) / 2
matrix_1 = np.dot(matrix_2, matrix_1)
return np.sum(matrix_1)
data = []
while True:
d = int(input())
if d == 0:
break
data.append(d)
result = map(cow, data)
for r in result:
print(r)
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代码3：
这也是一种直接模拟增长的方法，如果你看懂了我之前的推导，那你一定读的懂下面的函数
用列表的三个元素分别代表：
- F(N - 2)
- F(N - 1)
- F(N）
然后一年年的累加。
这个代码更适合这道题，我试了20万个数据的一次性输入
本段代码用时约3s, 而矩阵模拟约6秒（因为n比较小，快速幂算法反而拖慢了速度，去掉直接乘或许更快。）
def cow(n):
middle = [2, 3, 4]
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 2
elif n == 3:
return 3
elif n == 4:
return 4
else:
for each in range(5, n+1):
middle.append(middle[0] + middle[2])
middle.pop(0)
return middle[2]
put = []
while True:
d = int(input())
if d == 0:
break
put.append(d)
for r in put:
print(cow(r))
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对于这道题我的探究就差不多到此，毕竟是一道水题，没必要想太多~
