自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH)
恩格尔和克拉格(Kraft, D., 1983)在分析宏观数据时,发现这样一些现象:时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时,大的及小的预测误差会大量出现,表明存在一种异方差,其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。
从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者,曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小,而在某一时期里则相对地大,然后,在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。
为了刻画这种相关性,恩格尔提出ARCH模型。
ARCH的主要思想是时刻
t的
ut的方差(
=σt2)依赖于
t−1时刻残差平方的大小,即依赖于
ut−12。
ARCH自回归条件异方差模型条件:
在时间序列中,给出不同的时点的样本(对于不同时点的观测值),得到残差的方差是不同的,故方差随时间给出的条件而变化,即异方差。
ARCH 模型的定义
k−变量回归模型:
yt=γ0+γ1x1t+⋯+γkxkt+ut(1)
并假设在时刻
t−1所有信息已知的条件下,扰动项
ut的分布是:
ut∼N(0,α0+α1ut−12)(2)
即
ut遵循以0为均值,
α0+α1ut−12为方差的正态分布。
由于
ut的方差依赖于时刻
t−1期的平方扰动项,
所以我们称其为
ARCH(1)过程:
var(ut)=σt2=α0+α1ut−12
一个
ARCH(p)过程可以写为:
σt2=α0+α1ut−12+α2ut−22+⋯+αput−p2(3)
如果扰动项没有自相关,就会有:
H0:var(ut)=σ2=α0
且
α1=α2=⋯=αp=0
从而得到误差方差同方差的情形。
恩格尔曾表明,容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设:
u^t2=α^0+α^1ut−12+α^2ut−22+⋯+α^put−p2(4)
其中,
u^t表示从原始回归模型(1)估计得到的OLS残差。
ARCH 模型的导出
yt=b0+b1x1,t+b2x2,t+⋯+ut
E(ut)=0
E(utus)={σ2,t=s0,t=s
注意:
ut是一个白噪声,其无条件方差是一个常数。但是
ut的条件方差随时间而变化,假设
ut2服从
AR(1)过程(模型的名称来源),
ut2=α0+α1ut−12+wt
ARCH(q) 模型的表示
yt=b0+b1x1,t+b2x2,t+⋯+utut∼N(0,σt2)σt2=α0+α1ut−12+α2ut−22+⋯+αqut−q2
或者:
ut=vtσt,vt∼N(0,1)σt2=α0+α1ut−12+α2ut−22+⋯+αqut−q2
或者:
ut∼N(0,ht)σt2=α0+α1ut−12+α2ut−22+⋯+αqut−q2
ARCH(q) 模型:
yt=xtβ+εt(1)
的无条件方差是常数,但是其条件分布为:
εt∣ψt−1∼N(0,σt2)(2)σt2=w+α1εt−12+α2εt−22+⋯+αqεt−q2(2)
其中,
ψt−1是信息集。
方程(1)是均值方程(mean equation)。
σt2条件方差,含义是基于过去信息的一期预测方差。
方程(2)是条件方差方程(conditional variance equation)。
利用条件方差证明无条件方差是常数:
证明: 利用方差分解公式,
Var(X)=VarY(E(X∣Y))+EY(Var(X∣Y))
由于
εt∣ψt−1∼N(0,σt2),所以条件均值为0,条件方差为
σt2。
那么,
Var(εt)=E(Varψt−1(εt∣ψt−1))=Eσt2。
则有:
Var(εt)=E(w+α1ut−12+α2ut−22+⋯+αqut−q2)
⇒Var(εt)=w+α1Eεt−12+α2Eεt−22+⋯+αqEεt−q2)
⇒Var(εt)=1−α1−α2−αqw
说明,
εt∼N(0,1−α1−α2−αqw)
ARCH(q) 模型的平稳性条件
在
ARCH(1)模型中,观察参数
α的含义:
当
α→1,
Var(εt)→∞
α→0,退化为传统情形,
εt∼N(0,w)
ARCH(q)模型的平稳性条件:
∑αi<1(这样才能得到有限方差)。