第九章 复杂网络中的信号处理
大型复杂网络中的每个单独节点都会产生大量的数据，在复杂网络上定义的数据被视为一组标量值，称为由网络结构支持的图信号。图信号可以来自各种场景，如社交网络中的信息扩散，大脑中的功能活动，道路网络中的车流等。
图的采样和插值，基于图的变换和滤波器，扩展了经典的信号处理理论，这些工具已经被用于图上的信号恢复，聚类和社区检测，图信号去噪和半监督的图分类等。
图信号处理GSP涉及定义在图上的信号的建模，表示和处理。
图傅里叶变换不仅可用于图信号的频率分析，而且还被证明是多个仍在发展中的概念的核心，通过图傅里叶变换还定义了诸如卷积，平移，和调制等各种运算。
在图信号中，图拉普拉斯算子的特征向量用作图信号的扩展基。图信号中的等效变换称为图傅里叶变换（GFT）.
图拉普拉斯算子：图拉普拉斯矩阵定义为：L=D-W, D为图的度矩阵，W是图的权重矩阵。
其性质如下：
1.拉普拉斯矩阵是对称的
2.拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量是实数构成的
3.拉普拉斯矩阵是办正定的
4.拉普拉斯矩阵总是具有至少一个零特征值
5.它有一套完全的标准正交特征向量
图谱：图拉普拉斯矩阵的特征值集合称为图谱或者拉普拉斯谱。
图傅里叶变换GFT：一个图信号可以表示为某些图信号的线性组合。成分图信号是图拉普拉斯算子的特征向量，这些图信号被称为谐波。
在图信号中，频率的概念是从图拉普拉斯矩阵的特征分解中导出的。图拉普拉斯算子的特征值充当图频率，图拉普拉斯算子的特征向量充当图傅里叶基。
图傅里叶基依赖于网络拓扑并随网络结构变化而变化。
图拉普拉斯算子的特征向量中的频率概念可以形象地认为是频率和过零点的关系。
随着特征值的增加，相应特征向量中的过零点增加，这也表明频率增加。
低频的拉普拉斯矩阵的特征向量相对于图是光滑的。
图拉普拉斯矩阵的特征值带有频率的概念，其中较小的特征值对应于低频，较大的特征值对应于高频。
带宽受限的图信号：
如果信号的GFT系数在图频带[0,w]外是零，则称该图信号的带宽受限于图频率w。图频率w被称为信号的带宽。
w-带宽受限信号所构成的空间被称为Paley-Wiener空间。
图中的顶点索引不会影响频域中图信号的表示；它只会导致信号在顶点域中的表示发生相应的变化。
图信号的广义算子
滤波:当在频域中观察时，滤波操作是指放大一些频率或者衰减一些频率以获得新信号。
谐域滤波器，空间域中的多项式滤波器
卷积：顶点域中的卷积等价于图谱域中的元素依次相乘。
平移：
调制：时域中的经典调制等效于频域中的平移。
应用
GFT捕获信号变化的能力使其在许多应用中非常有用。
首先，通过对节点的中心性进行频谱分析，介绍如何使用GFT探索各种复杂网络模型的结构；第二个例子，我们讨论图傅里叶变换中心性，其利用GFT量化复杂网络中节点的重要性。
节点中心性的谱分析
度中心性DC，接近度中心性CC，介数中心性BC
基于中心性信号谱的网络分类
给定作为网络信号的节点中心性的谱，可以识别网络的类型。如果网络上的DC信号谱只有在零频率处有非零GFT系数，则底层网络是r-正则网络。
网络上的DC或BC信号频谱中高频率分量强于低频分量表明底层网络是无标度网络。通过DC信号谱可以准确地完成无标度网络和正则网络的识别。
如果DC信号的谱在所有频率上具有明显的频率分量，则底层网络可能是小世界网络或者ER网络。
随着小世界性越来越强，在DC的谱中高频分量越来越多。此外，即使对于具有高度随机性的随机网络（ER模型中的边概率为0.5），其频谱中的高频分量也不像无标度网络那样强。
图傅里叶变换中心性GFT-C:是一种用于评估复杂网络中每个节点重要性的谱方法。
重要性信号：描述参考节点与其余每个节点的关系。采用从单个节点到参考节点的成本的倒数作为其特征。到达参考节点的成本越高，参考节点的重要性越低，反之亦然。
图傅里叶变换中心性
GFT-C统一测量参考节点对于其余网络节点的重要性。
重要性信号的GFT称为重要性谱。
重要性信息编码在重要性谱的高频分量中。
如果节点是网络的核心，那么重要性信号是非平滑的，即重要性信号的变化很大。
窗口图傅里叶变换WFT：重要的时间-频率分析工具。以感兴趣的位置为中心使用适当的窗口函数可以实现时间上的定位。
在动态图上寻找信号的新变换是一个具有挑战性的研究领域。
第十章图信号处理方法
在这种图信号处理（GSP）中，图拉普拉斯算子起了基础性的作用。
图上的离散信号处理DSP_G采用线性位移不变（LSI）图滤波器的理论定义GFT，使得图傅里叶基是LSI图滤波器的特征函数。
GSP有两种主要方法：基于拉普拉斯算子的GSP和DSP_G框架。
（无向）图拉普拉斯算子的特征分解用于定义GFT，拉普拉斯二次型用于识别低频和高频。通过GFT定义了诸如卷积、平移，调制和扩张等基本算子。此外还定义了窗口图傅里叶变换WGFT用于分析图信号中的局部频率分量。WGFT是通过广义的平移和调制算子来定义的。这种方法的缺点是它仅限于具有正边权重的无向图。
第二种方法DSP_G框架根植于代数信号处理理论。在此框架中，定义了图上位移算子，它起着基础作用。基于移位不变性，发展了LSI滤波的概念。线性图滤波器是一种矩阵算子，如果可以按照任何顺序进行移位和滤波操作而不改变滤波器输出，则称该滤波器为移位不变的。此外，为了定义GFT，使用图结构矩阵的特征向量作为图谐波，相应的特征值用作图频率。通过图特征向量的总方差来识别图的高频和低频。在移位算子的帮助下定义总方差。该方法适用于具有实数或者复数边权重的无向图和有向图。
基于拉普拉斯矩阵的图信号处理
基于拉普拉斯算子的方法仅限于分析位于具有非负实数权重的无向图上的图信号。
GFT仍然是核心，提供了图信号的频率解释。
小特征值对应于低频，反之亦然。
DSP_G框架
根植于ASP(代数信号处理)理论，框架建立在图移位算子上。
图表示矩阵的特征值被视为图频率，相应的特征向量被视为图谐波。
为了识别低频和高频，定义了称为总方差的量TV，其量化了图信号的变化，用于图频率排序的图的TV的定义中使用了移位算子。基于图表示矩阵的特征向量的TV值，可以识别低频和高频。具有低TV值的特征向量对应于低频，反之亦然。
图信号处理方法比较
第十一章 复杂网络的多尺度分析
在前两章中我们讨论了使用图傅里叶变换进行复杂网络数据的频率分析。作为全局变换，GFT具有捕获图信号中全局变化的能力；但是无法确定局部的情况。在经典的信号处理中，小波变换已广泛用于从数据中提取局部和全局信息。小波能同时在时域和频域定位信号内容，使我们能从不同的尺度提取数据中的信息。同样，对网络数据进行像小波似的变换为我们提供了一种分析各种规模网络数据的方法。
多尺度变换为我们提供了一种在不同尺度分析数据的方法。
图小波变换旨在定位顶点域和谱域中的图信号内容。
在顶点域设计中，使用了诸如跳距等空间特征。
另一方面，在谱域设计中，利用诸如图谱的低频和高频特征来定义多个尺度。
在顶域设计中，探索了复杂网络的空间特征，而在谱域中，使用了一种网络矩阵的特征分解。
顶点域设计
顶点域设计的图小波利用图的空间特征来构建多尺度的小波。空间特征可以是图中节点的连通性或两个节点之间的最短距离。CKWT,随机变换，基于提升的小波和树小波属于这类小波设计。
基于提升的小波变换将图的节点分为两组：偶节点和奇节点。
谱域设计
在谱域内设计的多尺度变换利用谱的特性（图矩阵的特征值和特征向量）导出多尺度小波。这类小波设计的例子包括SGWT,双通道小波滤波器组和扩散小波。
另一方面，双通道小波滤波器组类似于经典的离散小波变换。扩散小波是正交的，并使用扩散作为多尺度分析的缩放工具。
SGWT更接近于经典连续小波变换，提供了高度冗余的变换，并且可以更精确地控制小波尺度的选择。
Crovella-Kolaczyk小波变换
它仅利用单个网络度量、最短路径距离或几何距离来计算网络上的小波。发展的背后动机是形成网络中流量的高度概括的视图。CKWT可用于深入了解链路故障的全局网络流量响应以及定位网络中故障事件的范围。
CK小波的每列是一个以相应的顶点为中心的j阶的小波
小波变换
上面定义的小波可用于表示变换域中的图信号。
可以利用图信号在不同尺度的系数来提取有用的信息，例如定位到特定节点的图信号的扩展。
小波的性质
CKWT方法中小波的性质：
①CK小波具有零均值
②以节点i为中心的j阶ck小波在等距离中心等距的节点处具有相等的值；
③以节点i为中心的j阶CK小波在距离中心j跳之外的节点处的值为零。
优点和缺点：CKWT是最早在图上提供多尺度分析的方法之一。但是仅限于无向且未加权的图。此外，CKWT不可逆，因此不能用于压缩和去噪等应用。
随机变换
用于传感器网络数据的多分辨率表示的随机变换。
双通道图滤波器由下采样和上采样器组成。
扩散小波：
图上的扩散小波是基于图的特定的扩散矩阵的幂的压缩表示。扩散矩阵可以是随机游走矩阵或者拉普拉斯矩阵。
优点和缺点：
扩散小波的最大的优势是在生成不同尺度的小波的同时也生成图的压缩的版本。此外，基函数是正交的，因此可以允许从变化系数重建信号。
双通道的滤波器组只能保证二分图是完美重建。