PAT乙级(Basic Level)练习题 年会抽奖

题目描述
今年公司年会的奖品特别给力，但获奖的规矩却很奇葩：

1. 首先，所有人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
2. 待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
3. 如果抽到的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”
   现在告诉你参加晚会的人数，请你计算有多少概率会出现无人获奖？

输入描述:
输入包含多组数据，每组数据包含一个正整数n（2≤n≤20）。

输出描述:
对应每一组数据，以“xx.xx%”的格式输出发生无人获奖的概率。

输入例子:

2

输出例子:

50.00%

$\color{blue}解题思路：$
解这道题，我们需要明白什么时候才算做都不获奖？全部都不获奖的概率如何计算？
对于什么时候才算做都不获奖，当然是所有人都拿到了别人的名字，没有拿到自己的名字。
全部都不获奖的概率必定是由 n个人都拿错的情况种数 除 n个人拿出的所有排列情况数。
n个人拿出的所有排列情况数显然是n的阶乘。
n个人都拿错的情况种数与上一道题 PAT乙级(Basic Level)练习题 发邮件 是一样的。
假设a的名字没有被a拿到，其他n - 1个人都有可能拿到，即有n - 1种情况。假设b拿到了a的名字，那么对于b的名字有两种情况，

第一种是b的名字被a拿到了，也就是a、b互相拿到了对方的名字，那么对于其他n - 2个人互相拿错又是一个子问题f(n - 2).

第二种是b的名字没有被a拿到，则剩下的问题是子问题f(n - 1).
因此可得递推公式f(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)).

最终得出公式n人都不获奖的概率h(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)) / (n!).
$\color{blue}代码实现：$

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n = 0;
    //fTable[n]记录n个人都拿错（全不获奖）的情况种数，allTable[n]记录所有可能的组合情况n的阶乘
    long long fTable[21] = {0, 0, 1}, allTable[21] = {0, 1, 2};
    for (int i = 3; i < 21; ++i) {
        //递推计算i个人全部拿错
        fTable[i] = (i - 1) * (fTable[i - 1] + fTable[i - 2]);
        //递推计算i的阶乘
        allTable[i] = i * allTable[i - 1];
    }
    //scanf返回值为正确输入数据的变量个数，当一个变量都没有成功获取数据时，此时返回-1
    while (scanf("%d", &n) != - 1) {
    	//注意%属于控制字符，两个连续的%%才表示真正的%字符
        printf("%4.2lf%%\n", 100 * double(fTable[n]) / allTable[n]);
    }
    return 0;
}