arry-718 Maximum Length of Repeated Subarray

题目：Input:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
Output: 3
Explanation:
The repeated subarray with maximum length is [3, 2, 1].

思路：要找到两个数组中重复数据最长的子数组的长度。暴力枚举：每个A的下标i，分别与B的每个下标j作为起点，判断最长的重复数组长度。就像是移动两个指针。
例如i=0，j分别为0,1,2，3,4的时候，重复数组的长度分别为0,0,1,0,0。
当i=2，j=0的时候，重复数组的长度是3。接着还要计算i=2,j=1。如此一直计算到最后。这里的一个问题是当计算i=2,j=0找数组找到i=4,j=2结束之后，还有必要查找i=2，j=1位起始节点的子数组吗？有必要，在连续重复的数组中。例如数组A=[X,X,0,0,0,1]，数组B=[0,0,0,0,1]，可以看到以i=2，j=0,为起点，重复数组长度为3,；以i=2，j=1位起点，重复数组长度为4。所以这个暴力枚举没有可以省略操作的地方。
时间复杂度：A中每个元素都要和B中每个元素比较一次，O(m*n)

    public int findLength(int[] A, int[] B) {
        int len1 = A.length;
        int len2 = B.length;
        int maxLen = 0;
        for(int i=0;i<len1;i++){
            int j = 0;
            while(j<len2){
                if(A[i] == B[j]){
                    int count = 0;
                    int idxA = i;
                    int idxB = j;
                    while(idxA<len1 && idxB <len2 && A[idxA++] == B[idxB++]) count++;
                    maxLen = Math.max(maxLen,count);
                }
                j++;
            }
        }
        return maxLen;
    }

学习：动态规划。上面分析是以数组的起点开始思考，动态规划以i,j作为子数组的终点元素，考虑从(0,0)到(i,j)中，重复数组的最长长度。
分析递归方程式。还以题目中的A、B数组为例。假设i=3，j=1，A[3]=B[1]，那么dp[3][1] = dp[2][0]+1。假设i=3,j=4,$A[3] \ne B[4]$，那么dp[3][4]=dp[2][3]。得出dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 如果A[i]=B[j]。这里之所以dp[i][j]与dp[i-1][j-1]有关系，而不是跟dp[i][j-1]或者dp[i-1][j]有关系，是因为这是求重复数组的长度。而求重复数组肯定是两个数组的下标同时移动。
分析初始化条件。如果i=0，如果A[i]=B[j]则dp[0][j]=1否则为0。如果j=0，如果A[i]=B[j]则dp[i][0]=1否则为0。

    public int findLengthV2(int[] A, int[] B) {
        if (A == null || B == null)
            return 0;
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        int maxLen = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (j == 0 || i == 0) {
                    dp[i][j] = (A[i] == B[j] ? 1 : 0);
                } else if (A[i] == B[j]) {
                    dp[i][j] = 1 + dp[i - 1][j - 1];
                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }

思考：让我不能理解的地方是都是两层for循环，时间复杂度都是O(m*n)。方法二就比方法一快。相比较之下方式一多出了

while(idxA<len1 && idxB <len2 && A[idxA++] == B[idxB++]) count++;

这个步骤。方法二中只是简单的加法操作，当然更快。这样说来，方法一的时间复杂度就不是O(m*n)。当数组中重复元素多的情况下，两者速度相差就更大了。例如以下数组：
[59,59,59,93,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59…]
[59,59,59,91,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59,59..]
还有让我感觉神奇的地方是如果以(i,j)为子数组起点考虑问题，解决方法时间长；而以(i,j)为子数组终点考虑问题，竟然速度就快多了。这就是换个思路？再看看下面这段代码。

public int findLength(int[] a, int[] b) {
        int m = a.length, n = b.length;
        if (m == 0 || n == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int max = 0;
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
                max = Math.max(max, dp[i][j] = a[i] == b[j] ? 1 + dp[i + 1][j + 1] : 0);
        return max;        
    }

这个思路是以(i,j)作为子数组的开始节点，dp[i][j]存储以(i,j)为子数组起始节点的重复数组最长长度。这时候从最大的下标开始考虑。为什么从最大下标开始考虑，看下面的分析。
数组：A: [1,2,3,2,1] B: [3,2,1,4,7]
例如i=4,j=4,因为A[4]不等于B[4]，所以dp[4][4]=0。
例如i=3，j=1，则dp[3][1]=dp[4][2]+1，应该是在以j=4，j=2这个数组重复数组最长长度+1，因为A[3]=B[1]。dp[3][1] 与dp[2][0]的关系就不是很确定。我可能因为向后移动了位置，重复数组变长，也可能变短。
开辟空间dp[m+1][n+1] ，而不是dp[m][n]是为了编码方便。
所以：暴力枚举与动态规划是两种思考问题的方式。动态规划在找递推关系的时候不是一定要有dp[i][j]与dp[i-1][j-1]，也可能是dp[i+1][j+1]。根据题目的确定性关系确定递推式。

参考资料：
网页1
网页2