C语言实现快速幂的递归与迭代求解

1. 问题描述：

给定三个正整数a，b（a < 10 ^ 9，b < 10 ^ 18，1 < m < 10 ^ 9）求解出a ^ b % m

2. 思路分析：

① 对于上面这个问题，最简单的思路是使用一个循环来进行累乘，直到累乘的次数等于了b那么循环就结束了，但是假如按照这样的思路来解决，对于O（b）的时间复杂度为O（10 ^ 8）都比较难支持了，更何况是10 ^ 18呢？所以上面的解法是不行的

② 这里需要使用到快速幂的计算，首先我们可以使用递归的方法来进行求解，下面是求解的式子：

1）如果b是奇数，那么有 a ^ b = a * a ^ （b - 1）;

2）如若b是偶数，那么有a ^ b = a ^ （b / 2） * a ^ （b / 2）;

从上面的式子我们可以知道对于b是奇数的情况下是能够转化为偶数的，而b是偶数的情况下我们是可以先转换为b / 2的情况，在经过若干次的转换之后那么最后到达了递归的边界就是b变成了0的情况，这个时候我们直接返回1就可以了，a ^ 0 = 1

③ 比如要求解出 2 ^ 10，我们需要经过下面的步骤：

1）由10是偶数因此先要求解 2 ^ 5，然后2 ^ 10 = 2 ^ 5 * 2 ^ 5;

2）对于2 ^ 5来说，5是奇数，所以先要求解出2 ^ 4，2 ^ 5 = 2 * (2 ^ 4)

3）对于2 ^ 4来说，4是偶数，所以先要求解出2 ^ 2，2 ^ 4 = 2 ^ 2 * 2 ^ 2

4）对于2 ^ 2来说，2是偶数，所以先要求解出2 ^ 1，2 ^ 2 = 2 ^ 1 * 2 ^ 1

5）对于2 ^ 0来说，1是奇数，所以先要求解出2 ^ 0，2 ^ 1 = 2 * 2 ^ 0

6）2 ^ 0 = 1递归结束

3. 下面是具体的代码：

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL binaryPow(LL a, LL b, LL m){
	if(b == 0) return 1;
	//b为奇数那么那么转换为b-1
	if(b % 2 == 1) return a * binaryPow(a, b - 1, m);
	//b为偶数 
	else{
		LL mul = binaryPow(a, b / 2, m);
		return mul * mul % m;
	}
} 

int main(void){
	//使用%lld来进行存储与输出 
	LL a, b, m;
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &m);
	printf("%lld", binaryPow(a, b, m)); 
	return 0;
}

4.  除了上面的递归求解的方法之外，我们还可以使用递推的方法来进行求解，思路分析如下：

① 首先比如我们需要求解出2 ^ 10，10的二进制形式为1010，所以2 ^ 10 = 2 ^ 8 * 2 * 2得到，而8，2对应的是10这个幂的二进制位上是否是1,，这样我们使用递推的思路就比较清晰了，下面是具体的步骤：

1）初始的时候可以令ans = 1

2）判断b的二进制位数是否是1，使用b & 1 == 1来进行判断，b & 1进行位与操作这样比 b % 2 == 1来判断的执行速度会更快

3）令a平方，并且b后移1位相当于是b /= 2

4）只要是b大于0那么就回到2）

5. 下面是具体的代码：

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL binaryPow(LL a, LL b, LL m){
	LL ans = 1; 
	while(b > 0){
		//下面的if判断相当于判断b的最后一位是1还是0 
		if(b & 1 == 1){
			ans = ans * a % m;
		}
		a = a * a % m;
		//b除以2 
		b >>= 1;	
	}
	return ans; 
} 

int main(void){
	LL a, b, m;
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &m);
	printf("%lld", binaryPow(a, b, m)); 
	return 0;
}