换根dp小结

前言

这个东西据说（听师兄说）是这次 $CSP-S$ 最后一题的题解做法，虽然还没去钻研那题，但是姑且算是把这个东西学会了。

思路

首先这是个在树上用的东西，一般就是不告诉你哪个点作为根，而你就需要求出所有点作为根时的答案，然后才能得到最终的答案。

思路也不是什么很神奇的东西：就是一开始先固定一个点作为根，然后 $dp$ 一次求出解，然后利用这个解再做一次 $dp$——这次 $dp$ 我们称为换根，这次 $dp$ 求出其他点作为根时的解。

例题

例1

给出一棵有 $n$ 个点的树，设 $sum[x]$ 表示 $x$ 到其他点的距离之和，要求出 $\sum_{i=1}^n sum[i]$。

这个就是一个换根 $dp$ 的入门题了，我们先随便固定一个点作为根，设这个点为 $x$，然后 $O(n)$ 求出 $sum[x]$，然后开始换根，考虑对于 $x$ 而言，如何求出他的一个儿子 $y$ 的 $sum$。

我们发现，树中点此时一共有两类：1、 在 $y$ 的子树内的点；2、 不在y的子树内的点。

对于第一类点，他们到 $y$ 的距离之和就是 $sum[y]$。

对于第二类点，他们到 $y$ 的距离其实就是到 $x$ 的距离再加上 $len(x,y)$。（ $len(x,y)$ 表示 $x$ 到 $y$ 的那条边的长度。）

设 $size[x]$ 表示以 $x$ 为根的子树大小，那么很容易可以知道，第二类点一共有 $size[x]-size[y]$ 个。所以第二类点到 $y$ 的距离之和就是 $sum[x]-sum[y]+(n-size[y])\times len(x,y)-size[y]\times len(x,y)$。

加起来就是 $sum[y]=sum[x]+(n-2\times size[y])\times len(x,y)$。

例2 & 例3

(难度应该是递增的)
TJOI 2017 城市         题解
APIO 2014 连珠线     题解