ZJOI 2017 仙人掌 题解

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题目大意： 给出一张无向无自环无重边图，你可以加任意条边，问有多少种加边方式使得最后的图是一张仙人掌。

题解

首先判断这张图是不是仙人掌，如果不是那么可以直接输出 $0$ 了。判断方法：先跑一次 $tarjan$，然后利用 $dfs$ 树可以统计出图中每条边在多少个环里面，每个环会被正反两次统计，也就是说，假如一条边被统计了超过两次，就一定在一个以上的环内了，那么这张图就不是仙人掌。

判断完之后，发现可以将所有的环给拆掉，然后对于森林中的每一棵树分别统计答案。因为我们不可能在两棵树之间连边，这样连的话一定会得到一张非仙人掌图。分别统计完之后根据乘法原理把方案数乘起来即可。

然后一棵树内要统计方案数，当然是掏出可爱的树形 $dp$ 啦！

首先设 $f[x]$ 表示 $x$ 这棵子树内连边成仙人掌的方案数。

对于一个点 $x$，他的儿子的子树（下面简称儿子）之间相互也会有连边，而一个儿子最多只能连出一条边，那么对于一个有 $k$ 个儿子的节点，设儿子之间连边的方案数为 $g[k]$。

考虑第 $k$ 个儿子的状态，假如他不连边，那么剩下 $k-1$ 个儿子的方案数为 $g[k-1]$，假如他连边了，那么他可以从另外 $k-1$ 个儿子中任选一个连边，然后剩下 $k-2$ 个儿子的方案数为 $g[k-2]$。

所以有 $g[k]=g[k-1]+(k-1)\times g[k-2]$。

于是可以得到 $f[x]=\prod_{y\in son_x} f[y] \times g[k]$

由于我们还要考虑每个儿子也可能与 $x$ 的祖先之间连边，所以对于非根节点，同时要考虑祖先，我们可以将祖先也看成 $x$ 的一个儿子，那么只要将 $k$ 改为 $k+1$ 即可。

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这个时候就可能有人要问了：诶你那个儿子之间连边的时候，你怎么知道每个儿子让谁出去连边？不同的子孙出去连边不是不同的方案吗？

不用担心，这个问题已经在 $k$ 变成 $k+1$ 的过程中解决了，因为这里将每个当前节点的每个儿子与祖先连边的情况都考虑进去了，也就是说，已经考虑在 $f[x]$ 内了。

于是就可以上代码了：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 2000010
#define mod 998244353
#define ll long long

int T,n,m;
struct E_V{
	struct edge{int y,next;};
	edge e[maxn<<1];
	int first[maxn],len;
	void reset(){len=0;for(int i=1;i<=n;i++)first[i]=0;}
	void buildroad(int x,int y)
	{
		e[++len]=(edge){y,first[x]};
		first[x]=len;
	}
}T1,T2;
int dfn[maxn],low[maxn],fa[maxn],tot;
void dfs(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++tot;
	for(int i=T1.first[x];i;i=T1.e[i].next)
	{
		int y=T1.e[i].y; if(y==fa[x])continue;
		if(!dfn[y])
		{
			fa[y]=x;dfs(y);
			if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
		}
		else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
		if(low[y]>dfn[x])T2.buildroad(x,y),T2.buildroad(y,x);
		//T2记录删了环之后的图，也就是不保留环边，只保留树边
	}
}
bool check()//检查是不是仙人掌
{
	for(int i=1;i<=n;i++)low[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=T1.e[2*i-1].y,y=T1.e[2*i].y;
		if(dfn[y]<dfn[x])swap(x,y);
		while(y!=x)
		{
			low[y]++;if(low[y]>2)return true;
			y=fa[y];
		}
	}
	return false;
}
ll f[maxn],g[maxn],ans;
void dp(int x,int father,bool root)
{
	dfn[x]=1; f[x]=1; int son=0;
	for(int i=T2.first[x];i;i=T2.e[i].next)
	{
		int y=T2.e[i].y; if(y==father)continue;
		dp(y,x,false);f[x]=f[x]*f[y]%mod;son++;
	}
	if(root)f[x]=f[x]*g[son]%mod;
	else f[x]=f[x]*g[son+1]%mod;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	g[0]=g[1]=1;
	for(int i=2;i<=maxn-10;i++)
	g[i]=(g[i-1]+(i-1)*g[i-2]%mod)%mod;
	while(T--)
	{
		scanf("%d %d",&n,&m);
		T1.reset();T2.reset();
		for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
		scanf("%d %d",&x,&y),T1.buildroad(x,y),T1.buildroad(y,x);
		for(int i=1;i<=n;i++)dfn[i]=low[i]=0;tot=0;
		dfs(1); if(check()){printf("0\n");continue;}
		for(int i=1;i<=n;i++)dfn[i]=0;ans=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(dfn[i]==0)dp(i,0,true),ans=ans*f[i]%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}