一大堆常犯的错误、提醒和公式

注意事项&错误

1. 论有效对拍和测试极限数据的重要性
2. 不要局限思维
3. 不要被某些神奇的C++调试错误坑
4. 不要主观臆断认为一个算法会TLE。——Werkeytom_FTD
5. 别老忘记清零标记！
6. 用∑合并式子的时候小心特殊情况，特别是当有$T<S$的情况时！ 如：
   $$(k-1)^m-k^m=\sum_{i=1}^{m-1}C_m^i*(-1)^{m-i}*k^i$$
   但当$m=0,k=0$时要加特判！！！
7. 不要懒得加%&开LL！！！！！！！！！！
8. 打题前先把整个程序仔细想一下，别急着！
9. 打程序的时候用心点啊！！！别老写错变量啊！！！
10. 改了循环变量的时候记得仔细检查一下下面的程序。
11. 当题目需要大规模连边时，考虑用中介点代替暴力连。
12. 不能太依赖对拍！
13. 改数据结构的时候一定要好好检查没有改的部分（merge），老在出问题！
    14. >>>>记忆化的时候（特别是杜教筛），能不放hash里就别放，常数++！<<<<
14. 哈希数组不能删除！
15. 判断两数是不是0时（线段树），不能用（!(l1*r1)），因为$(int)(65536*65536)=2^{32}\mod 2^{31}=0$；
16. 分块时要用$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$暴力算一些数时，可以先预处理小的，因为大的不会有很多；
17. 斜率优化没有等于；
18. 在做公式题时，考虑理解式子的意义；【例】
19. 当想到一题的分治做法时，考虑是否可以把分治倒过来做，优化常数/代码量 ；【例】
20. 优化DP**观察变化小的变量，考虑去掉冗余状态，如遇到有差的题目（如极差），考虑用差分优化**；【例】
21. 判断语句并列式，注意顺序，先判断越界；
22. 代价贪心考虑二分判定合法。【例】
23. 树上问题与路径相关，优先考虑点分治；
24. C公式记得判断$m<n$

一些奇怪的吼东西

【技巧】浅谈Johnson算法
【技巧】可撤销贪心
【黑科技】用树状数组解决区间修改查询问题
【莫比乌斯反演】非正常套路
【二项式剩余】Cipolla（模意义下开根）
【容斥妙用】快速求积的和

一些容易忘记的公式

莫比乌斯反演的套路

$$f_d=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g_{id}$$
反演：
$$g_d=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f_{id}*\mu(i)$$
还有：
$$f_n=\sum_{i|n}g_{i}$$
反演：
$$g_n=\sum_{i|n}f_{i}*\mu(\frac{n}{i})$$
附加1：
$$\sum_{i|n(n>1)}\mu(i)=0$$

附加2：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd*(2*(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i))-1)$$

欧拉函数的性质

$$\sum_{i|n}\varphi(i)=n$$
证明在这里

$\mu$和$\varphi$的关系

$$\sum_{i|n}\mu(i)*\frac{n}{i}=\varphi(n)$$
证明在这里

杂

一

设$x,y$使$\gcd(x,y)=1$，则：
$\gcd(x+y,x)=\gcd(x+y,y)=\gcd(xy,x+y)=1$

二

$\max(a,b)=a+b+min(a,b)$
$\min(a,b)=a+b-max(a,b)$