n位2进制数中有连续k个1出现的概率

问题的关键在于如何避免重复计算，比如说有个n位数，开头是连续的k+1个1，其余位为0，它只能被计算一次，而不是2次。

解决的方法是，包含最高位的连续k个1有2^(n-k)种，不包含最高位而包含次高位的连续k个1有2^(n-k-1)种，不包含前2位包含第3位的有。。。这样就不会有重复了

因此，count=2^(n-k)+2^(n-k-1)+...+2^0=2^(n-k+1)-1，概率p=count/2^n = (2^(n-k+1)-1)/2^n

下面程序中没有直接用公式，当然用公式更快

//计算n位2进制中连续k个1出现的概率
public class BinaryProbability {
	
	//n位2进制数中有连续k个1出现的概率
	public static double computeProbablity(int n, int k){
		if(k<1 || n<k) return -1;
		long count = 0;//连续k个1出现的次数
		//n为2进制数看做高位在前，连续k个1从高位移向低位，累计次数（2^低位位数），移动后高位补0，防止重复计算
		for(int i=n-k; i>=0; i--){//i==0也是一种情况，需要考虑到
			count += 1<<i;	//累计次数（2^低位位数）
		}
		double prob = 1.0*count/(1L<<n);
		return prob;
	}
	
	public static void main(String[] args){
		int k=2;
		for(int n=2; n<=6; n++){
			double prob = computeProbablity(n,k);
			System.out.println("n="+n+" count="+(prob*(1l<<n))+" prob="+prob);
		}
	}
}

结果：

n=2 count=1.0 prob=0.25
n=3 count=3.0 prob=0.375
n=4 count=7.0 prob=0.4375
n=5 count=15.0 prob=0.46875
n=6 count=31.0 prob=0.484375