参考：https://www.zhihu.com/question/54504471?sort=created
GCN是什么？
GCN 全称是 graph convolution network，中文翻译为图卷积网络。这里的“图”指的不是我们常说的2D图像，而是由一系列顶点和连着这些顶点的边构成的拓扑图，例如，有向图，无向图等等。接下来就以无向图介绍一下 GCN 的工作原理。
拓扑图的信息如何被提取并加以利用？
这里使用的是图的拉普拉斯矩阵，具体计算方法如下。利用拉普拉斯矩阵可以画出原拓扑图。
拓扑图已经表示用矩阵出来了，如何让它参与卷积呢？首先，需要进行傅里叶变换；然后，卷积。
傅里叶变换
学《信号与系统》我们了解到时域上的卷积等于频域上的乘积，使用\(e^{-j\omega t}\)作为基函数。其中\(e^{-j\omega t}\)是拉普拉斯算子的特征函数,即式\(\Delta e^{-j\omega t}= \frac{{\partial}^2 }{\partial t^2} e^{-j\omega t}=-{\omega}^2 e^{-j\omega t}\)成立。而广义的特征方程定义为\(AV=\lambda V\)，其中，\(A\)是一种变换，\(V\)是特征向量或者特征函数（无穷维的特征向量）。
根据以上理论，结合拉普拉斯矩阵就是离散的拉普拉斯算子，我们求出拉普拉斯矩阵\(L\)的特征向量，就可以做类似于傅里叶变换的工作。并且拉普拉斯矩阵为对称半正定矩阵，特征值均大于等于0，可对角化\(L=U\Omega U^T\)（这里假设了特征值互不相等，因此\(U\)矩阵各向量正交，\(U\)为正交矩阵，满足\(UU^T=E\))。
定义拓扑图的傅里叶变换为：
其中， \(f\)是图上的N维向量， \(f(i)\)与顶点一一对应， \(u_l(i)\)表示第 \(l\)个特征向量的第 \(i\)个分量。那么特征值（频率） \(\lambda_l\)下的， \(f\)的graph傅里叶变换就是 \(\lambda_l\)对应的特征向量和 \(f\)的内积。（1）式的矩阵形式： \(F=U^Tf\)。显然，对应的傅里叶逆变换： \(f=UF\)。
卷积
直接给出卷积公式：
（2）式右边的 \(U\)用来将谱域（spectral domain）结果通过逆傅里叶变换到空域（spatial domain）。 \(U^Th\)， \(U^Tf\)分别是卷积核 \(h\)，图向量 \(f\)的傅里叶变换。 \(\odot\)表示哈达马积，对于两个维度相同的向量、矩阵、张量进行对应位置的逐元素乘积运算。
DeepLearing中的GCN
GCN 在不断的发展。
第一代GCN
该方法直接将\(U^Th\)变为可学习的参数，即
其中， \(\sigma ()\)是激活函数，其中 \(g_\theta = (\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_N)\)。
第二代GCN
与第一代GCN不同的是，该方法中的\(g_\theta = (\sum_{j=0}^K\alpha_j {\lambda_1}^j, \sum_{j=0}^K\alpha_j {\lambda_2}^j, \cdots, \sum_{j=0}^K\alpha_j {\lambda_N}^j)\)。