1.线性结构与树形结构的区别
2.二叉树的基本概念和性质
- 二叉树的递归定义：二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、 互不交的二叉树组成。
- 二叉树的特点：
⑴ 每个结点最多只有两棵子树，即不存结点度大于2的结点；
⑵ 子树有左右之分，不能颠倒
- 二叉树的五种基本形态：
- 基本概念：
（1）节点度：节点所拥有的子树的个数
eg：所有节点的度<=2;
（2）叶子：度为0的节点，eg：D，E
（3）孩子：节点子树的根，eg：节点A子树的根是B
（4）双亲：孩子节点的上层节点，egB和C节点的上层节点是A，所以A是B和C的双亲
（5）子孙：是以某节点为根的子树中的任意一个节点，eg：A有两个子树，任意一个节点都是A的子孙
（6）祖先：从根节点到该节点所经分支上的所有节点，eg：以H节点为例，H沿着这条路径一直到根节点，这条路径上的所有节点都是H节点的祖先
（7）节点的层次：从根节点起，根是第一层，他的孩子是第二层，孩子的孩子是第三层；
（8）兄弟：同一个双亲的孩子节点，eg：B和C
（9）堂兄弟：其双亲在同一层的节点，eg：E和F
（10）二叉树的度：二叉树中最大节点的度数，二叉树的度为2
（11）二叉树的深度：二叉树的最大层次数，eg：G和H层数最大，位于第四层，所以二叉树的深度为4
- 两类特殊的二叉树
（1）满二叉树
满二叉树：除了叶子节点，其它节点的度都为2；所有叶子节点都在同一层；
（2）完全二叉树
完全二叉树：节点编号与满二叉树的节点编号是对应的关系
- 二叉树的性质：
（1）性质 1 ： 在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点。 (i≥1)
每层的最大结点个数是确定的。
证明：归纳法证明，i=1时，最多1个节点，第j层，有2^(j-1)个节点，第j+1层，若每个节点有两个孩子，则有：2*2 ^(j-1)个节点，则第j+1层，就有2 ^j个节点，即可证明
（2）性质 2 ： 深度为 k 的二叉树上至多含 2^k-1 个结点（k≥1）。
深度一定，二叉树的最大结点数也是确定的。
证明：利用性质1证明，2^0 +21+。。。+2k(一直加到第k层)
（3）叶结点与双分支结点的关系
对任何一棵二叉树T，设叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，那么， n0=n2+1。
证明：n=总的节点个数
n=n0+n1+n2;
由节点分支进行计算，n=2n2+n1+1；
（4）性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为{ |+1
证明：深度为k，最多有 2^k-1 个结点，至少有 2 ^(k-1)-1+1 =2 ^(k-1)个结点；n表示节点数
2^(k-1)<=n<=2 ^k，k-1<= <k，k<= +1,取等号时两边相等
3.完全二叉树的特点
- （ 1） 每个结点i的左子树的深度Lhi-其结点i的右子树的深度Rhi等于0或1， 即叶结点只可能出现在最下层或次最下层。
- （2）完全二叉树结点数n满足2^(k-1)-1＜n≤2 ^k-1
- （3）满二叉树一定是完全二叉树，反之不成立。
- 性质5：对有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1<=i<=n)， 有：
① 如果i=1， 则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1， 则其双亲是[i/2]（向下取整）
② 如果2i>n， 则结点i无左孩子；如果2i<=n， 则其左孩子是2i
③ 如果2i+1>n， 则结点i无右孩子；如果2i+1<=n， 则其右孩子是2i+1
证明：
假设节点i在第k层，那么他的双亲j是第k-1层的第q个节点（从左往右数），j=2^(k-2)-1+q，i=2 ^(k-1)-1+2(q-1)+1(左孩子的话，偶数)，i=2 ^(k-1)-1+2(q-1)+2（右孩子的话，奇数），综上：i=j/2
