1. Bayesian parameter estimation
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Formulation
- Prior distribution
- Observation
- Cost
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Solution
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Specific case
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MAE(Minimum absolute-error)
- is the median of the belief
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MAP(Maximum a posteriori)
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BLS(Bayes’ least-squares)
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proposition
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unbiased:
-
误差的协方差矩阵就是 belief(后验分布?)的协方差阵的期望
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Orthogonality
Proof: omit
2. Linear least-square estimation
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Drawback of BLS
- requires posterior , which needs and
- calculating posterior is complicated
- estimator is nonlinear
-
Definition of LLS
- 注意 是一个随机变量,是关于 的一个函数
- LLS 与 BLS 都是假设 x 为一个随机变量,有先验分布,不同之处在于 LLS 要求估计函数为关于观测值 y 的线性函数,因此 LLS 只需要知道二阶矩,而 BLS 需要知道后验均值
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Property
-
Orthogonality
-
推论:由正交性可得到
Proof: x 可以是向量
:反证法
- suppose
,take
then
与 LLS 的定义矛盾; -
Take
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ M &= E\left[(\…
由于 ,LLS 的 MSE 应当最小
由于 正定,因此应有
故:suppose another linear estimator
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ E\left[(\hat x…
第三个等号是由于同样的根据上面 可得到 有最小的 MSE
-
-
联合高斯分布的情况
- 定理:如果 x 和 y 是联合高斯分布的,那么
证明: 也是高斯分布
由于 ,故 与 y 相互独立
- 通常如果只有联合二阶矩信息,那么 LLS 是 minmax
- 定理:如果 x 和 y 是联合高斯分布的,那么
3. Non-Bayesian formulation
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Formulation
- observation: distribution of y parameterized by x,
not conditioned on x,
此时 x 不再是一个随机变量,而是未知的一个参数 - bias:
- 误差协方差矩阵
- observation: distribution of y parameterized by x,
-
**有效(valid)**估计器不应当显式地依赖于 x
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MVU: Minimum-variance unbiased estimator
- 在 MMSE 条件下最优估计就是 MVU 估计
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ MSE &= E[e^2]=…
- 在 MMSE 条件下最优估计就是 MVU 估计
-
MVU 可能不存在
- 可能不存在无偏估计,即
- 存在无偏估计 ,但是不存在某个估计量在所有情况(任意 x)下都是最小方差
4. CRB
定理:满足正规条件时
有
其中 Fisher 信息为
证明:取
,有
备注
- 正规条件不满足时,CRB 不存在
- Fisher 信息可以看作 的曲率
4. 有效估计量
-
定义:可以达到 CRB 的无偏估计量
-
有效估计量一定是 MVU 估计量
-
MVU 估计量不一定是有效估计量,也即 CRB 不一定是紧致(tight)的,有时没有估计量可以对所有的 x 达到 CRB
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性质:(唯一的、无偏的,可以达到 CRB)
证明:有效估计量 可以达到 CRB 取等号 取等号
5. ML estimation
- Definition
Proposition: if efficient estimator exists, it’s ML estimator
Proof:
由于有效(valid)估计器不应当依赖于 x,因此上式中 x 取任意一个值都应当是相等的,可取
备注:反之不一定成立,即 ML 估计器不一定是有效的,比如有时候全局的有效估计器(efficient estimator)不存在,也即此时按公式计算得到的 实际上是依赖于 x 的,那么此时就不存在一个全局最优的估计器,此时的 ML 估计器也没有任何好的特性。
其他内容请看:
统计推断(一) Hypothesis Test
统计推断(二) Estimation Problem
统计推断(三) Exponential Family
统计推断(四) Information Geometry
统计推断(五) EM algorithm
统计推断(六) Modeling
统计推断(七) Typical Sequence
统计推断(八) Model Selection
统计推断(九) Graphical models
统计推断(十) Elimination algorithm
统计推断(十一) Sum-product algorithm