《统计推断第二版》笔记——区间估计

9.1 引言

前面讨论过参数 $\theta$的点估计，那里的推断是猜测一个单个值作为 $\theta$的值，这一章我们讨论区间估计及更一般的集合估计。

集合估计问题中的推断就是陈述 $\theta\in C$，其中 $C\subset\Theta$并且 $C=C(\mathbf X)$是一个由观测数据 $\mathbf X=\mathbf x$的值决定的集合。

定义9.1.1 一个实值参数 $\theta$的区间估计是样本的任意一堆函数 $L(x_1, \cdots,x_n)$和 $U(x_1,\cdots, x_n)$，对于所有的 $\mathbf x \in \mathcal X$满足 $L(\mathbf x)\leqslant U(\mathbf x)$. 如果观测到样本 $\mathbf X=\mathbf x$，就做出推断 $L(\mathbf x)\leqslant \theta\leqslant U(\mathbf x)$. 随机区间 $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$叫做区间估计量。

使用区间估计而不使用点估计，目的在于对于捕获感兴趣的参数有某种保证。这个保证的确定是用以下定义量化的。

定义9.1.4 对于一个对参数 $\theta$的区间估计量 $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$， $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$的覆盖概率是指随机区间 $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$覆盖真实参数 $\theta$的概率。在符号上记作 $P_{\theta}\ \ (\theta\in [L(\mathbf x), U(\mathbf x)])$.

定义9.1.5 对于一个参数 $\theta$的区间估计量 $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$， $[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$的置信系数是指覆盖概率的下确界 $inf_{\theta}\ P_{\theta} \ \ (\theta\in [L(\mathbf x), U(\mathbf x)])$

因为我们不知道 $\theta$的真实值，所以我们只能保证一个覆盖概率的下确界，即置信系数。在某些情况这并不紧要，因为覆盖概率是 $\theta$的一个常数函数。而某些情况，覆盖概率可能随 $\theta$不同而有很大变化。