题目要求:
- 输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
- 数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
- 求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)
发表一篇博客文章讲述设计思想，出现的问题，可能的解决方案（多选）、源代码、结果截图、总结。
设计思想及代码和结果截图:
1.最开始的想法很简单,使用穷举法。我们列出所有的子数组之和，然后取出其中的最大值，代码如下：
public static void main(String[] args) {
int [] a = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
int maxsofar = 0;
int sum = 0;
//进入循环
for(int i=0;i<8;i++) {
sum=0;
//每次求出一个子数组的和就和目前的最大值进行比较
for(int j=i;j<8;j++) {
sum+=a[j];
maxsofar = Math.max(maxsofar, sum);
}
}
System.out.println(maxsofar);
}运行结果如图:
可以看到，结果是正确的，但这个的时间复杂度为O(n2),明显超出了我们题目要求的O(n)，通常最直观的算法是最慢的，我们接着使用别的算法。
2.之后，意识到老师提出的动态规划算法，于是在网上查阅了相关资料，发现了Kadane算法。这个算法是动态规划的一种具体应用，其设计思想也很好理解：对于数组a，用ci标记子数组a[0..i]的最大和，那么则有 ci=max{ai,ci−1+ai} 但仔细观察我们发现，若ci-1<=0 那么ci=ai。用e表示以当前为结束的子数组的最大和，以替代数组c，那么我们可以表示为：e=max{ai,e+ai}。代码实现如下：
public static void main(String[] args) {
int [ ] a = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
int result = FindGreatestSumOfSubArray(a);
System.out.println(result);
}
private static int FindGreatestSumOfSubArray(int[] a) {
int len=a.length;
if(len==0) {
return 0;
}
//第一个变量对应公式中的e
//第二个变量记录已扫描到的子数组最大值的和
int max_ending_here,max_so_for;
max_ending_here=max_so_for=a[0];
//对数组进行扫描,扫描一次记录一次
for(int x:a) {
max_ending_here = Math.max(x, max_ending_here+x);
max_so_for = Math.max(max_so_for, max_ending_here);
}
return max_so_for;
}结果截图如下：
可以看到，Kadane算法只循环了数组一次，所以时间复杂度为O(n)，很好的满足了题目的要求。
之后，老师提出了进阶的问题，如果将数组变成一个循环数组（环形数组），即头尾相接，又该如何求解最大子数组的和呢？这次的问题不再有时间复杂度限制。
我们注意到，可以把问题分成两个部分：如果最大子数组的和在数组的下标范围内，那么就可以直接应用上面的Kadane算法，可如果最大子数组的和超出了下标范围，又该如何求解呢？我查阅了相关资料，在leetnode发现了一位大神提出的思路：跨越边界的情况可以对数组求和再减去无环的子数组的最小和，即可得到跨越边界情况下的子数组最大和。将两种情况的最大值取出，即是问题的解。下面是代码：
public static int maxSubarraySumCircular(int[] A) {
if(A==null||A.length<1){
return 0;
}
int curMax,max,curMin,min,sum;
curMax = max = curMin =min = sum = A[0];
for(int i=1;i<A.length;i++){
sum+=A[i];
curMax = Math.max(A[i],curMax+A[i]);
curMin = Math.min(A[i],curMin+A[i]);
max = Math.max(max,curMax);
min = Math.min(min,curMin);
}
if(max<0)
return max;
return Math.max(sum-min,max);
}
public static void main(String[] args) {
int i = 0, n;
int a[] = new int[100];
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (i = 0; i < n; i++) {
a[i] = scanner.nextInt();
}
int max = maxSubarraySumCircular(a);
scanner.close();
System.out.println(max);
}
说明了该算法的正确性。但为什么用数组的和减去无环数组中子数组的最小和就是结果，我还没有思考出来，暂且留个悬念。