数学基础：卷积（Convolution）

卷积（Convolution）

卷积是一种积分变换的数学方法，与傅立叶变换有着密切的联系。在数字信号处理、通信系统、光学系统、神经网络计算许多方面得到了广泛应用。
在泛函分析中，卷积、旋积或摺积是通过两个函数g和h生成第三个函数f的一种数学算子，表征函数g与h经过翻折、平移之后重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

定义

简单定义：
设f(x), g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：
$\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(x-\tau)d\tau$
可以证明，关于几乎所有实数x，上述积分都是存在的。随x的不同取值，这个积分有不同的函数值，定义为新函数f(x)，成为函数f和g的卷积，记为： $f(x)=g(x)*h(x)=(g*h)(x)$

与傅立叶变换的关系

傅立叶变换有一条性质：两函数g,h的傅立叶变换的乘积，等于两函数卷积 $g*h$的傅立叶变换。

卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

卷积的特点

1. 由卷积得到的函数 $g*h$一般要比g和h都光滑。
2. 两个操作函数g, h满足交换律，结合律，分配律，数乘结合律（对任意实数和复数）。

卷积的应用

1. 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
2. 卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
   信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
   卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

C语言实现

void convolution(float *input1, float *input2, float *output, int mm, int nn)
{ 
    float *xx = new float[mm+nn-1]; 
    // do convolution 
    for (int i = 0; i < mm+nn-1; i++)
    { 
        xx[i] = 0.0;
        for (int j = 0; j < mm; j++) 
        { 
            if (i-j > 0 && i-j < nn)
            xx[i] += input1[j] * input2[i-j]; 
        } 
     }
     // set value to the output array 
     for (int i = 0; i < mm; i++) 
     output[i] = xx[i + (nn-1) / 2];
     delete[] xx;
}