题目描述
给定一张 N 个点，M 条边的无向图，边有红、绿、蓝三种颜色，分别用 1,2,3 表示。
求这张图有多少生成树，满足绿色边数量不超过 x，蓝色边数量不超过 y，答案对10^9 + 7 取模。
1 ≤ N ≤ 40,1 ≤ M ≤ 10^5,1 ≤ ci ≤ 3
行列式
定义矩阵A的行列式det(A)或|A|
\(|A|=\sum_{排列p}{(-1)^{p的逆序对个数}\prod{A_{i,p[i]}}}\)
行列式的性质
（\(A\)的转置矩阵\(A^T\)：把\(A\)的行列互换）
①\(|A|=|A^T|\)
②\(|A||B|=|AB|\)
见 https://www.zhihu.com/question/48497108
③\(|A的某一行乘x|=x|A|\)
④\(|A的某行第j项=aj+bj|=|A的某行第j项=aj|+|A的某行第j项=bj|\)
⑤交换相邻两行行列式变号
因为在每一种排列中符号都会改变
⑥交换任意两行行列式变号
两两依次交换的次数为2k+1，根据⑤可得必然变号
⑦有两行完全相同时行列式为0
否则交换两行后行列式改变
⑧把某一行乘k后加到另一行上行列式不变
相当于左乘了一个对角线为1，某个位置为k的矩阵， 这个矩阵的行列式显然是1
根据②可知不变
⑨上三角矩阵的行列式为对角线的积
其实可以不用化成上三角矩阵，只需要消元后n^2算逆序对即可
有了上面这些定理即可把矩阵高斯消元后求得行列式
（注意某行单独乘x时最终的结果要乘上x）
矩阵树定理
余子式：\(M_{i,j}\)表示矩阵\(A\)去掉第i行第j列后剩余矩阵的行列式
基尔霍夫矩阵：最简单的形式即为 度数矩阵D-邻接矩阵C，其中度数矩阵\(D_{i,i}=\)i的度数
其实度数矩阵的真正形态是这样的：\(D_{i,i}=\sum_{i≠j}{C[i][j]}\)
所以当Ci,j不为1，甚至是一个多项式时也是成立的
矩阵树定理：图的生成树个数=基尔霍夫矩阵的任意余子式\(M_{i,i}\)
我也不会证
二维拉格朗日插值
已知x=xi,y=yj时的点值\(a_{x_iy_j}\)，构造\(\sum_{i,j}{a_{x_iy_j}f_{x_i}(x)}g_{x_i}(x)\)使得\(x=x_i\)时\(f_{x_i}(x)=1\)，否则=0，g同理
可以发现和一维的一模一样，\(f_{x_i}(x)=\prod_{j≠i}{\frac{x-x_j}{x_i-x_j}}\)
题解
知道了上面的这题就是模板题了
设三种边边权为1,x,y，那么答案就是\(x^Xy^Y\)（XY为输入的数）的系数
枚举xy，求出行列式后插值即可
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define mod 1000000007
#define Mod 1000000005
#define file
using namespace std;
long long A[41][41];
int a[41][41][3];
long long b[41][41];
long long c[41][41];
long long g[41];
long long ans[41][41];
int f[41];
int F[41];
int n,m,X,Y,i,j,k,l,x,y;
long long s,Ans;
long long qpower(long long a,int b)
{
long long ans=1;
while (b)
{
if (b&1)
ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
freopen("tree.in","r",stdin);
#ifdef file
freopen("tree.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&X,&Y);
fo(i,1,m)
scanf("%d%d%d",&j,&k,&l),--l,++a[j][k][l],++a[k][j][l];
fo(x,0,n-1)
{
fo(y,0,n-1)
{
A[x][y]=1;
fo(i,1,n)
{
b[i][i]=0;
fo(j,1,n)
if (i!=j)
b[i][j]=-(a[i][j][0]+a[i][j][1]*x+a[i][j][2]*y),b[i][i]-=b[i][j];
}
memset(f,0,sizeof(f));
fo(i,1,n-1)
{
fo(j,1,n-1)
if (b[i][j])
{
if (!f[j])
{
A[x][y]=A[x][y]*b[i][j]%mod;
b[i][j]=qpower(b[i][j],Mod);
fo(k,j+1,n-1)
b[i][k]=b[i][k]*b[i][j]%mod;
b[i][j]=1;
f[j]=i;
F[i]=j;
fo(k,1,i-1)
if (F[k]>F[i])
A[x][y]=-A[x][y];
break;
}
else
{
fo(k,j+1,n-1)
b[i][k]=(b[i][k]-b[i][j]*b[f[j]][k])%mod;
b[i][j]=0;
}
}
if (j>n-1)
{
A[x][y]=0;
break;
}
}
}
}
fo(i,0,n-1)
{
c[i][0]=s=1;
fo(j,0,n-1)
if (i!=j)
{
memset(g,0,sizeof(g));
s=s*(i-j)%mod;
fo(k,0,n-2)
{
g[k]=(g[k]-c[i][k]*j)%mod;
g[k+1]=(g[k+1]+c[i][k])%mod;
}
fo(k,0,n-1) c[i][k]=g[k];
}
s=qpower(s,Mod);
fo(j,0,n-1)
c[i][j]=c[i][j]*s%mod;
}
fo(i,0,n-1)
{
memset(g,0,sizeof(g));
fo(j,0,n-1)
{
fo(k,0,n-1)
g[k]=(g[k]+c[j][k]*A[i][j])%mod;
}
fo(j,0,n-1)
{
fo(k,0,n-1)
ans[j][k]=(ans[j][k]+c[i][j]*g[k])%mod;
}
}
fo(i,0,X)
{
fo(j,0,Y)
Ans=(Ans+ans[i][j])%mod;
}
printf("%lld\n",(Ans+mod)%mod);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}