数列的构造

前言

典例剖析

例1 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，数列\(\{a_n\}\)为\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{2}{3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cfrac{2}{4}\)，\(\cfrac{3}{4}\)，\(\cfrac{1}{5}\)，\(\cfrac{2}{5}\)，\(\cfrac{3}{5}\)，\(\cfrac{4}{5}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{n}\)，\(\cfrac{2}{n}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{n-1}{n}\)，\(\cdots\)，若\(S_k=14\)，则\(a_k=\cfrac{7}{8}\).

分析：注意到数列的项的特征，重新构造一个数列\(\{b_n\}\)，

其中\(b_1=a_1=\cfrac{1}{2}\)，

\(b_2=a_2+a_3=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3}=\cfrac{3}{3}=\cfrac{2}{2}=1\)，

\(b_3=a_4+a_5+a_6=\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{4}+\cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{2}\)，

\(b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}=\cfrac{1}{5}+\cfrac{2}{5}+\cfrac{3}{5}+\cfrac{4}{5}=\cfrac{10}{5}=\cfrac{4}{2}=2\)，

\(\cdots\)

\(b_{n-1}=\cfrac{1}{n}+\cfrac{2}{n}+\cdots+\cfrac{n-1}{n}=\cfrac{n-1}{2}\)，

很显然，数列\(\{b_n\}\)是首项为\(\cfrac{1}{2}\)，公差为\(\cfrac{1}{2}\)的等差数列，注意原来的数列\(\{a_n\}\)非等差非等比数列。

那么\(b_n=\cfrac{n}{2}\)，其前\(n\)项和为\(T_n\)，则\(T_n=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2}+\cfrac{n}{2})n=\cfrac{n(n+1)}{4}\)

令\(T_n=\cfrac{n(n+1)}{4}=S_k=14\)，则\(n=7\)，即对数列\(\{b_n\}\)而言，\(T_7=14\)，

对数列\(\{a_n\}\)而言，它的\(S_k=T_7\)，但是注意\(k\neq 0\)，按照这种对应性可知\(a_k=\cfrac{7}{8}\)，

如果想计算\(k\)的值，那么\(k=1+2+3+4+5+6+7=28\)。