813. 最大平均值和的分组

813. 最大平均值和的分组

dp[i][k] 表示将数组 A 中的前 i 个元素分成 k 个相邻的非空子数组，可以得到的最大分数。

状态转移方程：

dp(i, k) = max(dp(j, k - 1) + average(j + 1, i))
dp(i, 0) = average(0, i)

第一遍写代码，以正确为主。为了方便处理，将A数组的下标都加了1 ，放在temp数组里面了，反正dp都O（n^2），也不在乎这O（n）了。。

class Solution {
	public double largestSumOfAverages(int[] A, int K) {
		double[][] dp = new double[A.length + 1][K + 1];
		int[] temp = new int[A.length+1];
		temp[0] = 0;
		for (int i = 0; i < A.length; i++) 
			temp[i+1] = A[i];
		for (int i = 1; i <= A.length; i++) {
			dp[i][1] = average(1, i, temp);
		}
		for (int k = 2; k <= K; k++) {	//分成几组
			for (int i = k; i < dp.length; i++) {	//遍历数
				for (int j = 1; j < i; j++) {	//更新dp
					dp[i][k] = Math.max(dp[j][k-1] + average(j+1, i, temp), dp[i][k]);
				}
			}
		}
		/*
		for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
			for (int j = 0; j < dp[0].length; j++) {
				System.out.print(dp[i][j]+" ");
			}
			System.out.println();
		}*/
		return dp[A.length][K];
	}

	public double average(int i, int j, int[] temp) {
		double sum = 0;
		for (int k = i; k <= j; k++) {
			sum += temp[k];
		}
		return sum / (j - i + 1);
	}

}

分析：

dp矩阵：

0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 9.0 0.0 0.0
0.0 5.0 10.0 0.0
0.0 4.0 10.5 12.0
0.0 3.75 11.0 13.5
0.0 4.8 12.75 20.0

求第j列的时候只需要知道第j-1列dp，dp可以降维

求dp这三层循环还有求平均数的一层循环，时间复杂度很高，跑了59ms。

优化

用前缀和预处理，将平均数这层循环优化成常数时间，用滚动数组优化空间
官方题解

class Solution {
    public double largestSumOfAverages(int[] A, int K) {
        int N = A.length;
        double[] P = new double[N+1];
        for (int i = 0; i < N; ++i)
            P[i+1] = P[i] + A[i];

        double[] dp = new double[N];
        //预处理,dp[i] -> i ~ N -1 不进行任何划分的平均值
        for (int i = 0; i < N; ++i)
            dp[i] = (P[N] - P[i]) / (N - i);
        //将数组分k次(k为0不划分)
        for (int k = 0; k < K-1; ++k)
            for (int i = 0; i < N; ++i)
                for (int j = i+1; j < N; ++j)	//j ~ N-1 不做划分
                    dp[i] = Math.max(dp[i], (P[j]-P[i]) / (j-i) + dp[j]);

        return dp[0];
    }
}

• 时间复杂度：O(K * N²)，其中 N是数组 A 的长度。
• 空间复杂度：O(N)