第九章 代数系统简介 9.3 几个经典的代数系统

9.3 几个经典的代数系统

本节考察半群，群，环，域。我们精简的来说。

判断方法：

1. 首先，大前提是代数系统。就是说第一步我们要看他是否封闭。
2. 在是代数系统的基础上，若 $V = <S,*>$中 $*$运算是可结合的，那么 $V$是半群。
3. 在半群的基础上，若 $V = <S,*>$中 $*$运算的单位元在集合 $S$里面，那么 $V$是独异点。
4. 在独异点的基础上，若集合 $S$里面的所有元素的逆元都在集合 $S$里面，那么 $V$是群。（所以群里不能用零元）

记住上面的概念就够用了，下面背几道例题。

例1：
12阶循环群的生成元是什么？

G = {e,a,……, $a^{11}$} 中与12互质的数有1 , 5 ，7 ，11.
所以G的生成元就是 $a^1$， $a^5$， $a^7$， $a^{11}$

例2：
求12阶群的子群？

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环和域就更恶心了。个人感觉不会怎么考。

环：

解析：

• 阿贝尔群就是在群的基础上，对于其二元运算可交换。

• 判断不是环的比较好的方法是：
  <1>先看其 $\cdot$ 和 + 的运算是否封闭。
  <2>看+的单位元在不在R里面
  <3>看 $\cdot$的单位元在不在R里面
  <4>看对于+的每个逆元在不在R里面

例题：

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域：

相信我，可能不考域，一定不考域，必须不考域。