矩阵特征向量的个数 和 这个矩阵充当线性方程稀疏矩阵解空间的维数不同，也没有关系。

矩阵特征向量的个数 和 这个矩阵充当线性方程稀疏矩阵解空间的维数不同，也没有关系。

下面分两部分解释，先举了一个具体例子验证两者没有关系，再试着从含义上去解释

---

1.举个具体例子
以矩阵A为例
$A = \begin{pmatrix}1 &2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$

求解的解空间为
$A = k_1\begin{pmatrix}-3 \\0\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2 \\1\\0\end{pmatrix} \forall k1,k2$

求解向量空间
$\lambda_1=\lambda_2=0$, $\lambda_3=6$

对于 $\lambda_1=\lambda_2=0$
特征向量为
$p_1 =\begin{pmatrix}-3 \\0\\1\end{pmatrix}$， $p_2 = \begin{pmatrix}-2 \\1\\0\end{pmatrix}$
这个过程是在求解 $(A-\lambda_{1,2} I)$的零空间

对于 $\lambda_3 = 6$
特征向量为
$p_2 = \begin{pmatrix}5 \\-1\\1\end{pmatrix}$
这个过程是在求解 $(A-\lambda_{3} I)$的零空间

总结：
以A矩阵的求解过程看，A解空间（又叫零空间）的维数为2，而A的特征空间的维数为3，故两者没有任何关系

感觉有关系是因为在求解特征向量的过程时，也重复了求解零空间的过程，但是求解的矩阵是 $(A-\lambda_{3} I)$而不是 $A$

---

2.换个角度理解这两个截然不同的过程
从含义上将，求解解空间和求解特征空间做的事情也不一样，故得到的结果没有关系。

这个角度需要把矩阵A看作是一个对向量的变换。
具体解释：
当A点乘一个向量a时，结果仍是一个向量，假设为向量b，其实就可以把A看作是对向量a做了一个变换，变换成了向量b
$A \cdot \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix}$

求解解空间（零空间）的过程，本质要求的是，A可以把哪些向量变换为0向量

而特征向量满足的是 $A\xi=\lambda\xi$
即A对这个向量变换后的效果等价于对原向量进行一个拉伸，我们在求的特征向量和特征值就是在求对应的是哪些向量以及拉伸值是多少

总结：
求解解空间是想知道，A这个变换可以把哪些向量变为0向量
求解特征向量是想知道，A对哪些向量的变化只是单纯的拉抻变换