【通信原理 入坑之路】—— 深入理解傅里叶变换2 之 “与冲击响应做卷积"

写在前面：本博文是《深入浅出通信原理》的学习笔记，仅供个人学习记录使用

一、什么是单位冲激响应序列？

“单位冲激响应序列”，这个名词我们听过好多遍了，但是应该如何理解呢？
首先我们先来看看什么是 “单位冲激序列”，它的公式定义是这样的：
$δ(n) = \begin{cases} 1 \quad n = 0\\ 0 \quad n = 1,2,3... \end{cases}$

如果我们把这样一个单位冲激序列作为输入，输入进一个系统中，得到的响应就是单位冲激响应，一般我们用 $h(n)$来表示。

并且，我们常常用单位冲激响应 $h(n)$来描述一个系统！，也就是说：一个输入系统的信号 $x(n)$（这个 $x(n)$可以是任意信号），那么系统得到的输出 $y(n)$就可以表示为： $y(n) = x(n)*h(n)$
(其中， $*$表示卷积运算）

二、与冲激函数做卷积

2.1 与 $δ(t)$做卷积的结果

我们来推导一下：
$f(t) * δ(t) =\int_{-∞}^{+∞}f(τ)δ(t - τ)dτ$
而我们知道，对应单位冲激函数 $δ(t - τ)$，只有当t = $τ$时才等于1，其余时刻都等于0，因此，上面的式子中 $f(τ)$也可以换成 $f(t)$，那么： $\begin{aligned} &f(t) * δ(t)\\ &=\int_{-∞}^{+∞}f(τ)δ(t - τ)dτ\\ &=\int_{-∞}^{+∞}f(t)δ(t - τ)dτ\\ &=f(t)\int_{-∞}^{+∞}δ(t - τ)dτ\\ &=f(t) \end{aligned}$
其中，我们有： $\int_{-∞}^{+∞}δ(t - τ)dτ = 1$
那么，我们惊喜地发现：一个信号与单位冲激响应 $δ(t)$卷积等于该信号本身！！

2.2 与 $δ(t - t_0)$做卷积

还是类似，我们公式推导一下： $f(t)*δ(t - t_0) = \int_{-∞}^{+∞}f((τ)δ(t - t_0 - τ)dτ$
而当 $τ = t - t_0$时， $δ(t - t_0 - τ)$才等于1，因此，我们又有： $\begin{aligned} &f(t) * δ(t - t_0)\\ &=\int_{-∞}^{+∞}f(τ)δ(t - t_0 - τ)dτ\\ &=\int_{-∞}^{+∞}f(t-t_0)δ(t -t_0 - τ)dτ\\ &=f(t-t_0)\int_{-∞}^{+∞}δ(t -t_0 - τ)dτ\\ &=f(t-t_0) \end{aligned}$
其中，我们有 $\int_{-∞}^{+∞}δ(t -t_0 - τ)dτ$ = 1
那么，我们也惊喜地发现：
信号与 $δ(t - t_0)$做卷积得到的是信号 $f(t)$延迟时间 $t_0$之后的信号 $f(t-t_0)$！

2.3 在频域 $X(ω)$与 $δ(ω - ω_0)$做卷积

和2.2的推导类似，在频域 $X(ω)$与 $δ(ω - ω_0)$做卷积，当 $ω_0$ > 0时，相当于把频谱往右边搬移了 $ω_0$后的频谱，当 $ω_0 < 0$时，相当于把频谱往左搬移了 $ω_0$后的频谱

三、傅里叶变换的时移特性

傅里叶变换的时移特性是这样表述的：
如果我们有： $F(f(t)) = X(ω)$，那么 $F(f(t - t_0)) = X(ω)e^{-jωt_0}$

也就是说如果时域信号 $f(t)$的傅里叶变换得到的频谱是 $X(ω)$，那么 $f(t)$经过时移 $t_0$之后的信号 $f(t - t_0)$的傅里叶变换就等于原来的频谱 $X(ω)$乘上 $e^{-jωt_0}$

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我们从定义角度推导一下： $\begin{aligned} F(f(t-t_0)) &= \int_{-∞}^{+∞}f(t-t_0)e^{-jωt}dt\\ &= e^{-jωt_0}\int_{-∞}^{+∞}f(t-t_0)e^{-jω(t-t_0)}d(t-t_0)\\ &=e^{-jωt_0}\int_{-∞}^{+∞}f(x)e^{-jωx}dx\\ &=X(ω)e^{-jωt_0} \end{aligned}$