AtCoder ABC 155D Pairs

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc155/tasks/abc155_d

题目大意

　　给定$N$个整数$A_1, A_2, \dots, A_N$, 求集合$S = \{A_i * A_j | 1 \leq i, j \leq N 且 i \neq j\}$的第$K$小。

分析

　　首先，通过把$N$个数分为正数，负数，零，再排下序，我们可以计算$S$中所有的正数，负数以及零的数目，进而可以判断出第$K$小的数是正数，是负数，还是零。

　　如果第$K$小的数是零，无需多言。

　　如果第$K$小的数不是零，则可以先求出上界与下界，通过二分法，指定所二分的数就是第$K$小的，然后用二分法计数有多少数比它小，直到上界等于下届为止。

　　时间复杂度为$O(Nlog^2N)$。

代码如下

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 
  4 /*-------------------Define Start-------------------*/
  5 typedef bool BL;                        // 布尔类型
  6 typedef char SB;                        // 有符号1字节,8位
  7 typedef unsigned char UB;                // 无符号1字节,8位
  8 typedef short SW;                        // 有符号短整型,16位
  9 typedef unsigned short UW;                // 无符号短整型,16位
 10 typedef long SDW;                        // 有符号整型,32位
 11 typedef unsigned long UDW;               // 无符号整型,32位
 12 typedef long long SLL;                    // 有符号长整型,64位
 13 typedef unsigned long long ULL;            // 无符号长整型,64位
 14 typedef char CH;                        // 单个字符
 15 typedef float R32;                        // 单精度浮点数
 16 typedef double R64;                        // 双精度浮点数
 17 
 18 #define Rep(i, n) for (register SDW i = 0; i < (n); ++i)
 19 #define For(i, s, t) for (register SDW i = (s); i <= (t); ++i)
 20 #define rFor(i, t, s) for (register SDW i = (t); i >= (s); --i)
 21 #define foreach(i, c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 22 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 23 #define msI(a) memset(a,0x7f,sizeof(a))
 24 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 25 
 26 #define MP make_pair
 27 #define PB push_back
 28 #define ft first
 29 #define sd second
 30 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 31 
 32 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 33 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 34 
 35 const ULL mod = 1e9 + 7;                //常用模数(可根据题目需要修改)
 36 const ULL inf = 0x7fffffff;                //用来表示无限大
 37 const ULL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;    //用来表示无限大
 38 /*-------------------Define End-------------------*/
 39 
 40 const UDW maxN = 1e6 + 7;
 41 SDW N, K; 
 42 vector< SLL > posi; // 存正数 
 43 SLL lenP; 
 44 vector< SLL > nega; // 存负数 
 45 SLL lenN;
 46 SLL zero; // 记录0的个数 
 47 SLL cntP; // 正数数对个数 
 48 SLL cntN; // 负数数对个数 
 49 SLL cntZ; // 零数对个数 
 50 SLL ans;
 51 
 52 void input(){
 53     SLL tmp;
 54     
 55     cin >> N >> K;
 56     Rep(i, N) {
 57         cin >> tmp;
 58         if(tmp == 0) {
 59             ++zero;
 60         }
 61         else if(tmp > 0) {
 62             posi.PB(tmp);
 63         }
 64         else {
 65             nega.PB(tmp);
 66         }
 67     }
 68     
 69     lenP = posi.size();
 70     lenN = nega.size();
 71     
 72     sort(ALL(posi));
 73     sort(ALL(nega));
 74     
 75     cntP = lenP * (lenP - 1) / 2 + lenN * (lenN - 1) / 2;
 76     cntN = lenP * lenN;
 77     cntZ = zero * (zero - 1) / 2 + zero * (lenP + lenN);
 78 }
 79 
 80 // 二分查找 A 中第一个满足 A * b > p的下标 
 81 SLL upper_bound(vector< SLL > &A, SLL b, SLL p) {
 82     SLL L = 0;
 83     SLL R = A.size();
 84     
 85     while(L != R) {
 86         SLL mid = (L + R) >> 1;
 87         
 88         if(A[mid] * b <= p) {
 89             L = mid + 1;
 90         }
 91         else {
 92             R = mid;
 93         }
 94     }
 95     return R;
 96 }
 97 
 98 void solve(){
 99     if(K > cntN && K <= cntN + cntZ) {
100         ans = 0;
101     }
102     else if(K <= cntN) { // 第 K 小数对乘积为负数 
103         SLL L = posi.back() * nega[0];
104         SLL R = posi[0] * nega.back();
105         
106         while(L != R) {
107             SLL mid = (L + R) >> 1;
108             SLL sum = 0; // 记录小于等于mid的数对个数 
109             
110             Rep(i, lenP) {
111                 SLL tmp = upper_bound(nega, posi[i], mid);
112                 sum += tmp; 
113             } 
114             
115             if(sum >= K) {
116                 R = mid;
117             }
118             else {
119                 L = mid + 1;
120             }
121         }
122         
123         ans = R;
124     }
125     else { // 第 K 小数对乘积为正数 
126         K -= cntN + cntZ;
127         reverse(ALL(nega)); // 由于负数 ×负数会改变数组的有序性，会使二分出错，所以这里反转一下 
128         
129         SLL L = infLL;
130         SLL R = 0;
131         
132         if(lenP >= 2) {
133             L = min(L, posi[0] * posi[1]);
134             R = max(R, posi[lenP - 1] * posi[lenP - 2]);
135         }
136         
137         if(lenN >= 2) {
138             L = min(L, nega[0] * nega[1]);
139             R = max(R, nega[lenN - 1] * nega[lenN - 2]);
140         }
141         
142         while(L != R) {
143             SLL mid = (L + R) >> 1;
144             SLL sum = 0; // 记录小于等于mid的数对个数 
145             
146             Rep(i, lenP) {
147                 SLL tmp = upper_bound(posi, posi[i], mid);
148                 sum += tmp; 
149                 if(tmp > i) {
150                     --sum; // 减去自己乘自己 
151                 }
152             } 
153             
154             Rep(i, lenN) {
155                 SLL tmp = upper_bound(nega, nega[i], mid);
156                 sum += tmp; 
157                 if(tmp > i) {
158                     --sum; // 减去自己乘自己 
159                 }
160             } 
161             
162             sum /= 2; // 一个数对算了两遍，要除以2 
163             
164             if(sum >= K) {
165                 R = mid;
166             }
167             else {
168                 L = mid + 1;
169             }
170         }
171         
172         ans = R;
173     }
174 }
175 
176 void output(){
177     cout << ans << endl;
178 }
179 
180 int main() {
181     input();
182     solve();
183     output();
184     return 0;
185 }

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