软件设计师3.数据结构

1 概述

• 数据结构是数据元素的集合或者数据对象之间的关系和构造方法
  Data_Structure = (D,R)
  D是数据元素的集合，R是该集合中所有元素之间的关系的有限集合
• 数据逻辑结构：反映数据元素之间的逻辑关系的结构（前后件关系，与存储位置无关）
• 数据存储结构：顺序，链接，索引，散列

数据逻辑结构

2 线性表

N个元素的有限序列，N>=0

2.1 顺序存储结构：顺序表

1. 依次存储线性表各个元素
2. 节省存储空间
3. 插入删除需要移动大量元素

细分

• 带头结点：头结点为了操作的统一和方便，不放数据（可放链表的长度），此结点不能算作链表长度值
  
• 不带头结点

2.2 链式存储结构：链表

1. 有数据域与指针域两个部分组成，增加了存储空间
2. 物理不一定相邻
3. 插入删除灵活
4. 查找慢
5. 簇4随机分配，数据删除后覆盖率低，恢复的可能性高

1）分类

2）链表的操作

插入和删除结点
双链表插入结点时先链入后删除

2.3 区别

2.4 队列与栈

循环队列

队列与栈的例题

2.5 串

串是一组特殊的线性表，其数据元素为字符。

• 空串：长度为0
• 空格串：里面为空格
• 子串：空串是任意串的子串；子串的位置为子串首先出现在主串中的位置
• 串比较：串长优先，其次第一个字符开始对比，字符码值（ASCII）大者为大

3 数组 array

地址计算：

1. 一维数组数组的起始地址a+ 元素下标i*每个数组元素所占的存储空间
2. 二维按行：n代表整个数组列的长度
3. m代表行的长度
   
   
   例题：
   已知5行5列的二维数组a中的各元素占两个字节，求元素a[2][3]按行有限存储的存储地址？
   解：a + (2*5+3)*2 = a+26

4 矩阵

稀疏矩阵

矩阵中非零元素的总数比上矩阵所有元素总数的值小于等于0.05时，则称该矩阵为稀疏矩阵(sparse matrix)
特殊矩阵

例题

5 广义表(Lists，又称列表)

是一种非线性的数据结构，是线性表的一种推广。即广义表中放松对表元素的原子限制，容许它们具有其自身结构

• 广义表是n(n≥0)个元素a1，a2，…，ai，…，an的有限序列。
  1. ai–或者是原子或者是一个广义表。
  2. 广义表通常记作：Ls=( a1，a2，…，ai，…，an)。
  3. Ls是广义表的名字，n为它的长度。
  4. 若ai是广义表，则称它为Ls的子表。

例：

1. 有广义表LS1(a,(b,c),(d,e))，则长度为3 深度为2
2. 有广义表LS1(a,(b,c),(d,e))，则将其中b字母取出，操作为：head(head(tail(LS1))

广义表基本操作

1. 取表头head(LS)。非空广义表LS的第一个元素称为表头，它可以是一个单元素，也可以是一个子表。
2. 取表尾tail(LS)。非空广义表中，除表头元素之外，由其余元素所构成的表称为表为表尾，非空广义表的表尾必定是一个表。（只有表头表尾）

例：LS1=（a，（b，c），（d，e）），取字符b的操作为,head(head(tail(LS1))

广义表特点

1. 多层次结构，因广义表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表。
2. 广义表的元素可以是已经定义的广义表的名字，所以一个广义表可被其他广义表所共享。
3. 广义表可以是一个递归表，及广义表中的元素也可以是本广义表的名字

广义表存储结构

6 树与二叉树

• 满二叉树：除最后一层无任何子结点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。结点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上。
• 完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边

6.1 二叉树特性

1. 在二叉树的第 i 层上至多有2i-1个结点
2. 深度为 h 的二叉树, 它的结点至多为2h−1
3. 对任何一颗二叉树，若它含有n0个叶子结点，n2个度为2的结点，则必存在关系式:n0=n2+1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 [ log2n ] +1
5. 如果i=1，则结点i无父结点，是二叉树的根；如果i>1，则父结点是i/2
6. 如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左子结点；否则，其左子结点是结点2i
7. 如果2i+1>n，则结点i无右子节点，否则，其右子节点是节点2i+1

6.2 二叉树遍历

• 前序遍历：根->前序遍历左子树->前序遍历右子树
  （1、2、4、5、7、8、3、6）
• 中序遍历：中序遍历左子树->根->中序遍历右子树
  （4、2、7、8、5、1、6、3）
• 后序遍历：后序遍历左子树->后序遍历右子树->根
  （4、8、7、5、2、6、3、1）
• 层次遍历：从上至下、从左至右逐层访问各节点
  （1、2、3、4、5、6、7、8）

6.3 树与反向构造二叉树

6.4 树转二叉树

• 孩子结点-左子树结点
• 兄弟结点-右孩子结点

1. 加线，所有的兄弟结点间加一条线
2. 去线，树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除其他孩子结点之间的连线
3. 调整，以树的根结点为轴心，调节整个树
   

6.5 查找二叉树

二叉排序树的节点的左子树都是小于根，节点的右子树都是大于根的，

• 插入节点
  1. 若该键值节点已存在，则不再插入
  2. 若查找二叉树为空树，则以新结点为查找二叉树；
  3. 将要插入节点键值与插入后父节点键值比较，就能确定新结点是父节点的左子节点，还是右子节点
• 删除结点
  1. 若待删除节点是叶子结点，则直接删除；
  2. 若待删除节点只有一个子结点，则将这个子结点与待删除节点的父结点直接连接
  3. 若待删除的节点p有两个子节点，则在其左子树上，用中序遍历查找关键值最大的结点s，用结点s的值代替结点p的值，然后删除节点s，节点s必属于上述1,2的情况之一

6.6 最优二叉树（哈夫曼树）

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到
最小，称这样的二叉树为最优二叉树

1. 路径和路径长度：从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。
   若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
2. 结点的权及带权路径长度：
   1. 权：将树中结点赋给一个有着某种含义的数值就叫该结点的权
   2. 带权路径长度：从根结点到该结点间的路径长度与该结点的权的乘积
      
3. 树的带权路径长度（WPL）：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和

例题:

WPL = 7*1 + 5 *2 + (2+3) *3

6.7 线索二叉树

• 对于n个结点的二叉树，在二叉链存储 结构中有n+1个空链域
• 利用这些空链 域存放在某种遍历次序下该结点的前驱结点和后继结点的指针
• 这些指针称为线索，加上了线索的二叉链表称为线索链表,
• 相应二叉树称为线索二叉树 (Threaded BinaryTree)
  

解决问题：

• 解决了无法直接找到该结点在某种遍 历序列中的前驱和后继结点的问题，
• 解决了二叉链表找左、右孩子困难的 问题。

6.8 平衡二叉搜索树

• 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，降低复杂度
• 常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等

1. 任意节点的左右子树深度相差不超过1
2. 每个结点的平衡度只能为-1、0或1
3. 平衡度：左子树深度-右子树深度

6.9 树与森林

• 森林：多颗互不相交的树的集合
• 森林转化为二叉树：将森林中的每一颗树转化成二叉树。（广度转化深度）
  1. 连接新生成二叉树的每一个根结点（第一颗树的根结点为生成二叉树的树根，有指针域指向第二颗子树，依次类推）
  2. 以根为旋转轴顺时针旋转45度
     
• 二叉树转化为森林：断开从根结点开始一直向右下方的所有连线，生成多颗二叉子树，将每颗二叉子树转化成树即可构成森林（深度转广度）；

7 图

图G是由集合V和E构成的二元组，记作G=(V，E)，其中V是图中顶点的非空有限集合，E是图中边的有限集合。

• 有向图：图的边均有方向
• 无向图：均无方向
• 完全图：每个顶点均相连
• 度、出度和入度：关联某顶点的数目为该点的度，有向图中以该点为起点的有向边即为该点的出度、以某顶点为终点的有向边为该点的入度
• 路径：从一个顶点至另一个顶点的边，注意有向图有方向

7.1 完全图

在无向图中，若每对顶 点之间都有一条边相连， 则称该图为完全图；在有向图中，若每对项点之间都有二条方向相反 的边相互连接，则称该 图为完全图。

7.2 图的存储

邻接矩阵

用一个n阶方阵R来存放图中各结点的关联信息，其矩阵元素Rij定义为：

邻接表

首先把每个顶点的邻接顶点用链表表示出来，然后用一个一维数组来 顺序存储上面每个链表的头指针

7.3 图的遍历

• 深度优先搜索（类似树的先根\前序遍历）

  1. 首先访问出发顶点V
  2. 依次从v出发搜索V的任意一个邻接点W
  3. 若W未访问过，则从该点出发继续深度优先遍历

• 广度优先搜素

  1. 首先访问出发顶点V；
  2. 然后访问与顶点V邻接的全部未访问顶点W、X、Y…;
  3. 然后再依次访问W、X、Y…邻接的未访问的顶点

7.4 拓扑排序

带权有向图

在带权有向图中以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示该活动持续的时间，则这种带权有向图称为用边表示活动的网，简称AOE网络

7.5 图的最小生成树

普利姆算法

克鲁斯卡尔算法

每一步最优（最短）

克鲁斯卡尔和普利姆算法的区别

8 算法

8.1 复杂度

8.2 静态查找表

折半查找

时间复杂度：关键词比较次数为[log2n]+1，且期望时间复杂度为O(log2n)

分块查找

• 是折半查找和顺序查找的一种改进方法
• 只要求索引表是有序的，因此特别适合于节点动态变化的情况。
• 其效率介于顺序查找与折半查找之间

1. 在索引表中确定待查记录所在的块
2. 在快内顺序查找。

8.3 动态查找表

平衡二叉树

于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1
如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转

B树

1. 树中每个结点最多有m棵子树。
2. 若根结点不是叶子节点，则至少有两个子树；
3. 除根之外的所有非终端结点最少有[m/2]棵子树；
4. 所有的非终端结点中包含下列数据信息（n,A0,K1,A1,K2,A2,…,Kn,An）n为关键字个数（介于[m/2]-1至m-1之间），k为关键字，且k为有序，A为指向子树根结点的指针，且Ai-1所指子树中所有结点的关键字均小于Ki(i=1,2,…,n)，An所指子树中所有节点的关键字均大于Kn
5. 所有的叶子节点都出现在同一层次上，并且不带信息。

8.4 散列（哈希）查找

已知关键字集合U，最大关键字为m，
设计一个函数Hash，它以关键字为自变量，关键字的存储地址为因变量，将关键字映射到一个有限的、地址连续的区间间T0…n-1中，这个区间就称为散列表，哈希查找中使用的转换函数称为哈希函数。

1. 计算位置：构造哈希函数确定关键词的位置
2. 解决冲突：应用某种策略解决多个关键词位置相同的问题
   线性探测法，伪随机法
   

9 排序

• 内部排序外部排序：存放是否为内存
• 稳定排序：两个及以上的相同元素排序前后顺序不变
  冒泡，插入，基数，归并
• 不稳定排序：选择，快速，希尔，堆
• 就地排序：

9.1 插入排序

1）直接插入排序

2）希尔排序（shell）

9.2 交换排序

1）冒泡排序

2）快速排序

9.3 选择排序

1）简单选择排序

2）堆排序

• 堆分为最大堆和最小堆，其实就是完全二叉树。最大堆要求节点的元素都要不小于其孩子，最小堆要求节点元素都不大于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求，其实很好理解。有了上面的定义，我们可以得知，处于最大堆的根节点的元素一定是这个堆中的最大值。
• 其实我们的堆排序算法就是抓住了堆的这一特点，每次都取堆顶的元素，将其放在序列最后面，然后将剩余的元素重新调整为最大堆，依次类推，最终得到排序的序列。
• 排序序列，将堆顶的元素值和尾部的元素交换->重平衡->再交换…

9.4 归并排序

9.5 基数排序

• 基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。
• 由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。