评估算法性能

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蓝桥杯备战资料《算法很美》Chapter2——查找排序（上）

各级别算法复杂度分析：

① n! 弱上界是 nⁿ，因此增长速度非常快，即超慢。

② 2ⁿ，指数级爆发式增长，增长速度非常快，也是超慢。

③ O(n²)、O(n³)，一般的竞赛题目是不允许到这种数量级的，很慢。

但是一般都可以优化到 nlgn。O(n²)级别的算法有：冒泡排序、插入排序和选择排序等。

④ O(nlgn)，及格，一般分治法可以缩小层数到 lgn，而每层的复杂度一般为O(n)，

例如：归并排序和快速排序等。

⑤ O(n)，比较优秀的算法，比如连续求和最大子数组的线性解。

⑥ O(sqrt(n))，比O(n)更快，这种算法比较少，但不是不存在，比如判断一个数是否为素数。

⑦ O(lgn)，很优秀，比如二分查找，但是这种算法往往对于输入数据格式有要求。

⑧ O(1)，常量级，这是为数极少的效率最高的算法，多数是数据很规则。

各算法复杂度与运行时间对应关系：

对于一般的测评机来说，CPU 的运算速度大概是 1s 进行 10⁸ 次运算（好的CPU可能快10倍）。

算法复杂度	1s可以处理的规模
n!	11
2n	26
n3	464
n2	104
nlgn	4.5*106
n	108
lgn	2 ^ (10 ^8)

递归算法的复杂度：

递归关系	结果	举例
T(n) = T(n/2)+O(1)	T(n) = O(lgn)	二分查找、GCD
T(n) = T(n-1)+O(1)	T(n) = O(n)	线性查找
T(n) = 2*T(n/2)+O(1)	T(n) = O(n)
T(n) = 2*T(n/2)+O(n)	T(n) = O(nlgn)	归并排序、快速排序
T(n) = 2*T(n/2)+O(nlgn)	T(n) = O(n(lgn)2)
T(n) = T(n-1)+O(n)	T(n) = O(n2)	选择排序、插入排序
T(n) = 2*T(n-1)+O(1)	T(n) = O(2n)	汉诺塔问题
T(n) = T(n-1)+T(n-2)+O(1)	T(n) = O(2n)	斐波那契

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