由快速排序到TopK
- 若不是这次面试还真没有好好的了解快速排序。
如果还有印象，我们可以还记得快速排序的平均时间复杂度是nlogn。这就够了，可以从这里慢慢推导。
- 既然时间复杂度里有logn，那么有可能就有每次考虑一半的操作存在。归并排序就是类似，俩俩进行排序。
快速排序的原理是：现在有一个数组，如果进行某种神奇操作之后，可以达到数组中左边都比基准值小，数组右边都比基准值大这种局面。那么就很有利，为什么呢。假如进行完神奇的操作之后，对两侧进行同样神奇的操作，这样一直下去。就能把整个数组排好了顺序。如果每次把两侧分的很均匀，都刚好是N/2,那么我们只需操作logn次神奇的操作就ok啦，logn的存在就是因为递归了logn次。 - 那如何才能做到神奇的操作，就是把一个数组用一个基准值分开呢。很明显这个操作的时间复杂度需要时O(n)，如果不是，整体复杂度就不是nlogn了。
- 在不考虑神奇操作之前，我们把第一步的代码写出来。就是递归的操作
quicksort(int *a, int low, int high){
if(low<high){
int pos = getmidpos(a, low, high);
quicksort(a, low, pos - 1);
quicksort(a, pos + 1, high);
}
}- 递归需要考虑什么时候结束还有递归关系。上面说的神奇操作就是getmidpos。这个先不考虑他是怎么实现的，先知道可以通过这个函数可以得到最终基准值的下标，通过一次神奇操作之后，分成两侧，再各自进行神奇操作，就能排好序啦。可以看出每次经过神奇操作之后，就有一个数字回到了他排序后最终的位置上。
- 接下来考虑，如何通过O(N)的时间复杂度，将整个数组分开呢。我是通过手动模拟的方式，慢慢看懂的。代码是：
int getmidpos(int *a, int low, int high){
int temp = a[low];
while(low<high){
while(low<high&& a[high] > temp){
high--;
}
a[low] = a[high];
while(low<high&& a[low] < temp){
low++;
}
a[high] = a[low];
}
a[low] = temp;
return low;
}但其实模拟了以后也不太明白，以为明白之后，自己按照自己的理解写出来，然后修改，考虑为什么要那么修改，反复几次之后，就清楚这个过程了。一时间这个地方不理解的话，不影响接下来看Top K的内容。
- 这个神奇操作有点双指针的意思，双指针最经典的题目应用就是给一个有序的数组，求其中两个数字的和等于给定值tar的组合。做法就是用两个下标，分别从两头开始，如果a[i] + a[j]>tar, 那说明是j下标对应的数字太大， j--就ok。反之，则说明i对应的数字太小，i++就ok。
- 第一步当然是找一个目标值tar， 这个目标值的选取很关键，如果选的很巧，能把整个数组刚好分成两边个数一样大，整体的复杂度就很小。但这个事情是没法把握的。一般快排都是选择的第一个，这里也不例外。然后从数组后面开始找比目标值小的，虽然还不知道找到a[i]的这个比目标值小的值他最终在哪儿，但肯定不是这里，放到最前面去，也就是a[low]的地方。然后从前面开始找比目标值大的，虽然也不知道这个值该在哪儿，但也肯定不是在这里。然后继续的循环，一直到两个指针碰一起了，那么最后，把最初的tar放在指针碰一起的地方，就ok。因为前面在放置值的时候都是把比目标值小的往左边放的，大的放右边。最后把temp放中间，就ok啦~。要是不理解手动模拟几次吧。
- 在上面的过程中，我们需要知道这几个事实，复杂度是O(N)，虽然看起来while循环很多，但其实最终两个指针碰头了，就只遍历了一遍而已。目标值如果选择的不好，虽然不影响这一步的时间复杂度，但是整体的慢了。为什么呢，如果每次选取的目标值都是目标排序的最小（大）一侧，那么递归的时候，每次都不是分成两侧， 都是只分成了一侧。这样整体的复杂度就是O(N^2)了。
TopK问题
- topK的问题实在是经典。游戏里面的排行榜就很需要考虑。问题描述：给一个数组，取出前K大（小）个元素。
最朴素的想法，排序。排序之后，取出前K个就ok。时空复杂度取决于排序算法的时空复杂度。这么一听好像问题回去了，只要解决好排序就ok。但是很明显，这个方法一定不是最优的，原因很简单，用排序能解决，但是解决的太多了。势必造成时空的浪费。我们只需要知道前K个就行了，排序都把顺序排好了，这肯定浪费了时间啊。
一定有更优的方案。如果对找数组的最大值的方法有印象，先设定一个maxnum，遍历整个数组，如果比maxnum大，就替换maxnum。这样O(N)的时间复杂度就可以解决找到数组的最大值。那仿照这个方法。我也用个数据结构存起来前K个数值，遍历数组arr，arra[i]如果比数据结构中的值大，就替换掉。这样复杂度听起来也是O(N) 呀。如果选择这个数据结构是数组，每次在数组中查找比arr[i]大的数字时，怎么操作？遍历？那么复杂度就是K了哦。诶如果二分？因为这个数据结构里面可以是有序的嘛，那么二分就ok？这样复杂度就变成logK,听起来快了好多啊，但是如果数组是有序的，往里面插入数值，也很浪费时间，数组的插入时间复杂度是O(K)，如果想减少插入的复杂度，把这个数据结构改为链表，也不行，这样查找就费时间了，综合来说这个方法，查找和插入复杂度加一起最少也要O(K)，那经过这个思路，整体的复杂度就变成了O(NK)，如果K小点也还行，要是十万个里面取前一千个，就又崩了。 - 有没有一种数据结构，插入和查询时间复杂度都是log的？堆这个数据结构还是蛮神奇的，插入和删除都是logn，如果我们先建立一个大小为K的最小堆，这一步的操作也是log。每次把arr[i]的数值放到堆里，如果堆的大小超过K，就删除掉最小的，这些操作都可以是logk。遍历完arr数组之后，堆中的元素就是我们要找的结果，这个方法的时间复杂度是O(nlogk)。C++ stl里可以直接使用优先队列来处理，优先队列就是堆实现的。
- 已经蛮好啦，复杂度下来好多啦~，但是还有优化空间。
- 结合前面的快速排序，就是那个神奇的操作，把数组分成两侧，如果分得很巧，数组分成左边K个数字，右边是剩下的那就把前K个小的找到啦~。神奇操作的时间复杂度是O(N)，听起来一下子就解决了诶。hhhh。还要继续考虑，最差时间复杂度。如果运气不好怎么办，选的目标值很差，每次都没分好怎么办。时间复杂度就变成O(N^2)啦。平均时间复杂度是什么呢。随机来说的话，每次选择的数值能把数组分成均匀两侧。然后再继续下去。听起来是logN？其实不是，分成两侧之后，每次只考虑靠近前K的一侧，另一侧就不考虑了，就少了很多。平均的复杂度是2n，也就是O(N)，就这么神奇。复杂度最后就成了O(N)。
- 快速排序的思路虽然好，但是需要把数据放在一个数组里进行操作，也就是还需要存储起来，如果数据非常多，就不合适了。存起来也费劲，堆不需要，如果数据流是只能读取一遍，不能存储起来，用堆就比快排合适。
代码：
int getmidpos(int *a, int low, int high){
int temp = a[low];
while(low<high){
while(low<high&& a[high] > temp){
high--;
}
a[low] = a[high];
while(low<high&& a[low] < temp){
low++;
}
a[high] = a[low];
}
a[low] = temp;
return low;
}
int findk(int *a, int l, int r, int k){
int temp = getmidpos(a, l, r);
if(k+l == temp+1)
{
return a[temp];
}
if(k+l<temp + 1){
return findk(a, l, temp-1, k);
}
else{
return findk(a, temp+1, r, k - (temp-l+1));
}
}- 还没结束，面试官继续说。在神奇操作里面，如果每次选择的目标值如果很合适，那么就能更接近了N啦。怎么选择呢，比如武力值排行榜，其实都有一个大致的范围，分布也很接近正态分布，选择合适的西格玛值，就能大致的估计出第K个值，这样更能缩短整体的复杂度。我听了之后，只感觉我真是太年轻了。游戏结束。拉闸！！！