PTA-最大连续子数列和（4种方法）

题目描述

给定K个整数组成的序列{ N₁​​ ,N​₂ , …, N​_k​​ }，“连续子列”被定义为{ N_i​​ , N_i+1, …, N_j}，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。
现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

输入格式

输入第1行给出正整数n (≤100000)；第2行给出n个整数，其间以空格分隔。

输出格式

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

样例输入

6
-2 11 -4 13 -5 -2

样例输出

20

题解

方法①：暴力枚举法O(n³ ）

最暴力的方法：用三层循环枚举所有的子数列，输出其中的最大值。

ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = i; j <= n; j++)
	{
		sum = 0;
		for(int k = i; k <= j; k++)
			sum += num[k];
		if(sum > ans) ans = sum;
	}

稍微优化成O(n²)

可以注意到：设sum(i)为从 a₁ 到 a_i 的数列的和，sum(0)为0，则从 a_i 到 a_j 的子数列的和为sum( j ) - sum( i-1 )
由此，可以将暴力枚举法的三层循环改为二层循环：

ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = i; j <= n; j++)
		if(sum[j] - sum[i-1] > ans)
			ans = sum[j] - sum[i-1]

方法②：二分法 O(nlogn)

首先，我们可以把整个序列平均分成左右两部分，答案则会在以下三种情况中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列刚好横跨分割点，即左右序列各占一部分。
前两种情况和大问题一样，只是规模小了些，如果三个子问题都能解决，那么答案就是三个结果的最大值。

前两种情况都比较好解决，需要注意的是第三种情况怎么处理：
以分割点为起点向左的最大连续序列和、以分割点为起点向右的最大连续序列和，这两个结果的和就是第三种情况的答案。因为起始点（分割点）是固定的，所以两者只需要O(n)以内的复杂度得出。

long long solve(int left, int right)
{
	int mid = (left + right) / 2;
	//处理第三种情况
	long long suml, sumr, maxl, maxr;
	suml = sumr = maxl = maxr = 0;
	for(int i = mid; i > 0; i--)
	{
		suml += num[i];
		if(suml>maxl) maxl = suml;
	}
	for(int i = mid+1; i < n; i++)
	{
		sumr += num[i];
		if(sumr>maxr) maxr = sumr;
	}
	long long ans = maxr + maxl;
	
	long long lans = solve(left, mid), rans = solve(mid+1, right); //处理左右两段
	ans = max(ans, lans); ans = max(ans, rans); //返回最大值
	return ans;
}

方法③ 动态规划O(n)

终极王牌方法，找到一个合适的公式，可以很快解决问题。
根据连续子数列的连续这一性质，我们可以设dp[i]为以num[i]结尾的最大子数列和，则有： $dp[i] = max(dp[i-1], \ \ 0)+num[i]$

而最终答案则是: $max(dp[i]),i\in[1,\ n]$

dp[0] = 0; 
long long ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	dp[i] = max(dp[i-1], 0) + num[i];
	if(dp[i] > ans) ans = dp[i];
}
cout << ans;

方法④ 另一种O(n)算法

由暴力法的前缀和法得到启发：以num[i]结尾的某个子数列和，是sum[i] - sum[j]（j < i），则以num[i]结尾的子数列和，是sum[i] - sum[ j-1 ]，其中sum[ j-1 ]为sum[0], sum[1] , …, sum[ i-1 ]中的最小值。
则我们只需要在一次遍历中维护之前的最小的sum不断更新答案即可。

long long minsum = 0, ans = 0, sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	sum += num[i];
	if(sum - minsum > ans) ans = sum - minsum;
	if(sum < minsum) minsum = sum;
}