数论：
1.\(powerful\ number\)可以用于优化数论函数筛法。
我们定义一个数\(n\)为\(powerfun\ number\)。
设其质因数分解为：\(n=\_*p^c\)
其中:\(\forall c_i,c_i>=2\)
这个东西有多少个呢？
我们可以发现所有的\(pwfnum\)均可以表示为：\(a^2b^3\)的形式。
那么我们可以这样来计算其数量。
枚举\(a\)的大小得到：
\[\sum\limits_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{n/i^2}\]
这样其实不用细算。
直接积分就可以了。
\[ \begin{aligned} ans&=\int_0^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}dx\\ &=n^{\frac{1}{3}}\int_0^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}dx\\ &=n^{\frac{1}{3}}(n^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}\\ &=n^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}\\ &=n^{\frac{1}{2}}\\ \end{aligned} \]
是\(\sqrt{n}\)级别的！
2.Min25笔记：
https://www.cnblogs.com/Lrefrain/p/12318781.html
有几个是\(Min\_25\)的应用题。
然后数论部分有用的大概就这么多吧。
生成函数
还没讲完。
写一下听着比较厉害的。
1.有标号无根仙人掌计数
一个仙人掌分为根所在的环和这个环所连接的其余部分（仍然是仙人掌）。
我们把根去掉之后出现若干个挂着仙人掌的环，断开之后环成为了若干个挂着仙人掌的链，然后链翻转同构。
定义：
\(a_n\)是\(n\)个点的有根仙人掌。
\(b_n\)是\(n\)个点的有根仙人掌序列。
\(c_n\)是链长度为奇数的回文仙人掌序列。
\(d_n\)是考虑翻转之后的有根仙人掌序列。
列几个公式。
考虑\(b_n\),中序列的长度，是1或者不是1。
那么:
\[b_n=a_n+\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_{n-i}\]
同样考虑\(c_n\)中序列的长度为奇数，并且是回文序列，那么：
\[c_n=a_n+\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}a_ic_{n-2i}\]
考虑\(d_n\)中如何去重，首先在所有方案中除以2来去重，然而会把回文少算半次，考虑奇偶回文补齐贡献，那么：
\[d_n=\frac{b_n+c_n+b_{\frac{n}{2}}}{2}\]
那么\(a_n\)是由大小和为\(n-1\)多个链构成的。
设\(a_n\)的\(ogf\)为\(A(x)\)
那么，我们枚举一下一种合法的仙人掌序列。
得到：
\[ \begin{aligned} A(x)&=x\prod\limits_{i=1}^{+\infty}\prod\limits_{j=1}^{d_i}\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^{ik}\\ &=x\prod\limits_{i=1}^{+\infty}\left(\sum\limits_{j=0}^{+\infty}x^{ij}\right)^{d_i}\\ \sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^i&=\frac{1}{1-x^i}\\ A(x)&=x\prod\limits_{i=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1-x^i}\right)^{d_i}\\ &=xexp(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}d_iln(\frac{1}{1-x^i}))\\ ln(\frac{1}{1-x^i})&=\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{x^{ij}}{j}\\ A(x)&=xexp(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{x^{ij}}{j})\\ \end{aligned} \]
这样我们直接\(O(nln\ n)\)预处理一下然后\(exp\)一下就得到\(A(x)\)了。
我们要的答案就是：\([x^n]A(x)\)。