[NOIp2017]宝藏 题解

非常巧妙的 \(O(n^23^n)\) 做法。
题目的本质是要求一棵生成树，使得其每条边的长度与这条边的起点深度乘积的和最小。
我们使用状压 DP，考虑到当前状态与已经打通的点和深度有关，不妨设 \(f(S,x)\) 为当前所打通点集合为 \(S\)，且当前树深度为 \(x\) 时的最小花费。状态转移方程 \[f(S,x)=\min_{S_0\subsetneq S}\left\{f(S_0,x-1)+x\cdot \sum_{u\in S_0}\left(\min_{v\in S \backslash S_0}w(u,v)\right)\right\}\] 翻译成人话就是，枚举当前状态的真子集，作为第 \(x-1\) 层的状态，将真子集的补集作为当前 \(x\) 层的点，找到向第 \(x-1\) 层连边的最小花费之和（当然，还要保证 \(S_0\) 可以扩展到当前状态）。