C++二进制完成加减乘除

首先介绍计算机的二进制码

二进制常用的有原码，反码和补码，他们都是由最左边的一个符号位和右边的数值位构成。在计算机中为了更低成本的计算，数据都是用补码来存储和运算的。

原码

最高位表示符号位（0代表正数，1代表负数）。剩下的位数，是这个数的绝对值的二进制。

比如一个int变量大小为4字节，在32位的编译器中的二进制表示就是 $00000000\;00000000\;00000000\;00000000$
那么 $10$ 的原码就是 $00000000\;00000000\;00000000\;00001010$
$-10$ 的原码就是 $10000000\;00000000\;00000000\;00001010$

反码

正数的反码和其原码是一样的
负数的反码就是在其原码的基础上符号位不变其他位取反。

$10$ 的反码就是 $00000000\;00000000\;00000000\;00001010$ 和原码一样
$-10$ 的反码就是 $11111111\;11111111\;11111111\;11110101$

补码

正数的补码就是其原码
负数的补码就是在其反码的基础上 $+1$

$10$ 的补码就是 $00000000\;00000000\;00000000\;00001010$
$-10$ 的补码就是 $11111111\;11111111\;11111111\;11111011$

总结一下

计算机系统中，数值一律用补码来表示：因为补码可以使符号位和数值位统一处理，同时可以使减法按照加法来处理。
二进制编码：数值编码分为原码，反码，补码，符号位均为0正1负。

原码 -> 补码：数值位取反加1

补码 -> 原码：对该补码的数值位继续取反加1

补码的绝对值（称为真值）：正数的真值就是本身，负数的真值是各位（包括符号位）取反加1（即变成原码并把符号位取反）.

介绍基本的位操作

^：按位异或； $\&$ ：按位与； $|$ :按位或
b -> -b ：各位（包括符号位）取反加1

用位操作实现加法运算

我们先不考虑进位，在1位数的加法上，如下
1. $1+1=0$
2. $1+0=1$
3. $0+1=1$
4. $0+0=0$
很明显上面几个表达式我们可以用异或进行统一
1. $1$ ^ $1=0$
2. $1$ ^ $0=1$
3. $0$ ^ $1=1$
4. $0$ ^ $0=0$
这样我们就完成了最基础的一位数的加法，但是怎么计算二位以上的加法呢？我们发现现在方法的问题在于不能够获取进位，于是我们通过观察一位数的加法的式子，发现只有两个数位都是1的时候才会有进位，其他都不进位，这不是和 $\&$ 很像吗？我们通过把 $+$ 换成 $\&$ 得到下式
1. $1\&1=0$ 不进位
2. $1\&0=1$ 不进位
3. $0\&1=1$ 不进位
4. $0\&0=0$ 进位
那么我们把所有位进行 $\&$ 操作，然后 $<<$ 左移一位，不就可以当作加数当前的进位吗？
到这里我们就完整解决了二进制相加问题中，对应位的相加和进位的问题
1. $x$ ^ $y$ 加法
2. $(x\&y)<<1$ 进位操作
那么总结一下：

定理1：设 $a$ ， $b$ 为两个二进制数，则 $a+b = a$ ^ $b + (a\&b)<<1$ 。

证明：

$a$ ^ $b$ 是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为 $1$ 时，才有进位，因此 $(a\&b)<<1$ 是进位产生的值，称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。

定理2：使用定理1可以实现只用位运算进行加法运算。

证明：

利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次，进位补偿右边就多一位 $0$ ，因此最多需要加数二进制位长度次迭代，进位补偿就变为 $0$ ，这时运算结束。

那么我们可以根据上面的定理得到实际的C++代码如下

int add(int a, int b){
    int re = a;
    while(b){
        int tmp = a;
        a = a^b;
        b = (tmp&b)<<1;
        re = a;
    }
    return re;
}

用位操作实现减法

减法和加法原理相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
求相反数的方法：每一位取反，末位加一。
代码如下：

int subtraction(int a, int b)
{
    b = add(~b,1); // 求b的相反数
    return add(a, b);
}

用位操作实现乘法

二进制的乘法同十进制的乘法并无什么不一样，对于 $a*b$ 每次只需要将a左移对应的位，然后同上一次的结果相加即可
当b的对应位为 $1$ 的时候，对a左移一位相加即可
当b的对应位位 $0$ 的时候，对a左移一位，但是不相加
注意到我们上面的操作都是不包括符号位的，因此我们单独考虑符号位。
代码如下

int getSign(int n)
{
    unsigned count = 0;
    //计算n的位数
    do{
        ++count;
    }while(n >> count)
    //得到n的最左边的位
    return n >> (count-1);
}

int mul(int a, int b){
    bool isNegative = false;
    if(getSign(a) ^ getSigned(b))
        isNegative = true;
    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
    int res = 0;
    while(b){               //当b不为0，继续循环
        if(b & 1)           //当b当前位为1 才需要加a
            res = add(res,a);
        a = a << 1;
        b = b >> 1;
    }
    if(isNegative)
        add(~res,1);
    return res;
}

二进制除法

同乘法一样，除法一样可以用减法来代替，当 $a\geq b$ 才可以上商，在每次上一个商（也就是商值加 $1$ ）之后， $a=a-b$
代码如下

int divide(int a, int b){
    if(!b)
        throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");
    bool isNegative = false;
    bool isNegtive = false;
    if(getSign(a) ^ getSign(b))
        isNegtive = true;
    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
    int res = 0;
    while(a >= b){
        res = add(res,1);
        a = subtraction(a,b);
    }
    if(isNegative)
        add(~res,1);
    return res;
}