三维DP
一. P1006 传纸条
题目描述 小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 m 行 n
列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标
(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 [0,100]内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式 第一行有两个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列。接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。
输出格式 输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
输入：
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出：
34
思路：要求传纸条传过去再传过来，所以就两个人一块走
用三维DP来做。f[p][i][j]中，p代表两人走到步数，i是第一个人现在的行数，j是第二个人现在所在的行数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=120;
typedef long long ll;
ll a[maxn][maxn],n,m,f[maxn][maxn][maxn];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
f[1][1][1]=a[1][1];
for(int p=2;p<=n+m-1;p++)
for(int i=1;i<=n&&i<=p;i++)
for(int j=1;j<=n&&j<=p;j++)
{
if(i==1&&j==1)continue;
f[p][i][j]=max(max(f[p-1][i][j],f[p-1][i-1][j-1]),max(f[p-1][i][j-1],f[p-1][i-1][j]));//代表四个过来的方向——右右，下下，上右，右上，取最大值赋给f[p][i][j];
f[p][i][j]+=(i==j)?a[i][p-i+1]:a[i][p-i+1]+a[j][p-j+1];
}
cout<<f[n+m-1][n][n]<<endl;
return 0;
}
题2
题目描述
设有 N×N 的方格图 (N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 0。如下图所示（见样例）:
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B
某人从图的左上角的 A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 B 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 0 ）。此人从 A 点到 B 点共走两次，试找出 2 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数 N（表示 N×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式
只需输出一个整数，表示 2 条路径上取得的最大的和。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e2;
const int mod=1e9+7;
int mp[maxn][maxn],f[maxn][maxn][maxn][maxn],a,b,c,d;
int n;
int main()
{
cin>>n;
while(cin>>a>>b>>c)
{
if(a==0&&b==0&&c==0)break;
mp[a][b]=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int l=1;l<=n;l++)
{
f[i][j][k][l]=max(max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1]),max(f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k-1][l]));
f[i][j][k][l]+=(mp[i][j]+mp[k][l]);
if(i==k&&j==l)f[i][j][k][l]-=mp[i][j];
}
cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
return 0;
}
与上题类似
Fillin的赚钱之路
Fillin的赚钱之路
题目描述
benTuTuT找遍了他的朋友，都没有借到钱，于是想到了Fillin，慷慨的Fillin告诉benTuTuT：“借钱是小事，但能借到多少就看你的本事了，我这里有一张地图，迷宫的每一个房间都有钱，但是你必须按照我给的规则行走，能拿到多少钱就看你自己的本事了。” 这里有一个有nm个房间的地图每个房间的编号为a[i]j代表他在第i行的第j个房间， 当benTuTuT在第i行的第j个房间时，他可以选择横着走，也可以选择竖着走 横着走时，他只能到达第i排的第j+1个房间或者是j的倍数编号的房间（不包括它本身） 竖着走时，他只能到达第i+1排房间或者是i的非倍数编号排的第j个房间（不包括它本身） 比如他在第3行第4个房间时， 他横着走可以到达：第3行的第5，8，12，16等房间 他竖着走可以到达：第4，5，7，8,10等行的第4个房间 benTuTuT最开始在a[1][1],他需要走到a[n][m]才能将钱提现 每一个房间内都有一个数字x当x为正数时benTuTuT可以获得x元,反之benTuTuT需要交给Fillin x元 benTuTuT必须进入每一个他经过的房间，并且拿走里面的钱，或者留下规定的钱（他一定会进入a[1][1]和a[n][m]） 你需要帮助benTuTuT获得尽可能给多的获得钱，并且告诉benTuTuT最多获得多少钱。
输入描述:
第一行输入一个整数t，代表有t组测试数据，对于每组测试数据，第一行输入两个整数n和m代表有n行m列个房间接下来n行，每行m个分开的整数a[i][j]，代表每个房间内拥有的钱数1<=t<=101<=n,m<=1000<=a[i][j]<=110^6
输出描述:
对于每组测试数据，并且对于每组数据，答案占单独的一行。
思路：遍历一遍，每到一个点，就把所有能到这个点的所有路径全部比较一遍求最大值。（三维DP）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000;
int t,n,m,a[maxn][maxn],temp,dp[maxn][maxn];
int main()
{
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j],dp[i][j]=-23333333;
dp[1][1]=a[1][1];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
temp=dp[i][j];
for(int k=1;k<j;k++)
if(j%k==0||j==k+1)
temp=max(dp[i][k]+a[i][j],temp);
for(int s=1;s<i;s++)
if(i%s!=0||i==s+1)
temp=max(dp[s][j]+a[i][j],temp);
dp[i][j]=temp;
}
cout<<dp[n][m]<<endl;
}
return 0;
}
