【第二章 道路与回路】【第一节】道路回路、欧拉道路、哈密顿道路

道路与回路概念

同理有向回路：

简单有向道路（回路）和初级有向道路（回路）

连通图

有向图在判定其是否连通时，不考虑各边的方向
G的连通支都是G的导出子图

为什么有N个顶点的连通图用邻接矩阵表示时 该矩阵至少有2(n-1)个非零元素？

所谓连通图一定是无向图,有向的叫做强连通图
连通n个顶点,至少只需要n-1条边就可以了,或者说就是生成树
由于无向图的每条边同时关联两个顶点,因此邻接矩阵中每条边被存储了两次（也就是说是对称矩阵）,因此至少有2(n-1)个非零元素

道路与回路-小结

道路与回路的判定

邻接矩阵法

具体计算：

Warshalll算法

这里涉及到与或运算，如果之前 $p_{jk}$就不为零，也就是说本来就有通路，（ $p_{ji}$与 $p_{ik}$的结果不影响最终的结果）
该算法的结果是图的道路矩阵

搜索法

用BFS方法求两点之间道路的计算复杂性是O(m)

道路回路的判定–小结

欧拉道路与回路

哈密顿道路与回路

哈密顿回路的判定

这里的意思是，如果序列中有点和 $v_1$相连，则相应地 $v_l$就要减少一个和该点之前的点相连的机会
如果 $v_1$和k个点相连，则 $v_l$最多只能连接l-1-k个点

证明回顾

下面这个引理在证明哈密顿道路的方法中使用过

!这里主要使用了引理：如果存在哈密顿道路而不存在哈密顿回路，则d( $v_i$)+d( $v_j$)<=n-1

简单图的闭合图是唯一的

闭合图存在哈密顿回路则原图也存在

小结