CF1019B The hat

一、题目

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谢谢恩泽的题面翻译，@Arextre

二、解法

首先 $n$为 $2$的倍数但不为 $4$的倍数肯定是不行的，因为相对两个数隔了偶数个，所以奇偶性一定不同，所以两个数不同，可以在一开始的时候判掉。

设 $i'$为 $i$的对应点， $t_i=a_i-a_{i'}$，有一个性质，就是 $t_{i+1}-t_i=\pm2\space or\space0$，证明很简单，就是 $t_{i+1}$和 $t_i$的差异只有两个格子的增减，所以只有这些情况。

可以考虑二分，设 $l=1,r=\frac{n}{2}$， $l,r$算出来的 $t$一开始就异号，所以里面一定有解，我们假设分到 $mid$，判断 $mid$算出来的 $t$和 $tl$还是 $tr$异号，向那边继续分即可，中间算 $t$的时候就判断一下有没有算出 $0$，算出 $0$了就找到答案了。

讲完这个解法，相信你还有一些问题，比如为什么 $l,r$一开始就异号，我们把 $t$看作一个连续的函数，现在这段函数的定义域是 $[1,\frac{2}{n}]$，发现 $t_{\frac{n}{2}+1}$和 $t_{\frac{n}{2}}$差值一定是 $\pm2\space or\space0$，所以可以把定义域扩展到 $[1,\frac{n}{2}+1]$然后 $1$和 $\frac{n}{2}+1$一定异号（你看定义呀！），所以 $l,r$一开始就异号。

真是道神题，贴个代码吧qwq。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;
int read()
{
 int x=0,flag=1;char c;
 while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
 while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 return x*flag;
}
int n;
int ask(int x)
{
    cout<<"? "<<x<<endl;int a=read();
    cout<<"? "<<x+n/2<<endl;int b=read();
    if(a==b)
    {
        cout<<"! "<<x<<endl;
        exit(0);
    }
    return a-b;
}
int main()
{
    n=read();
    if(n%4) {printf("! -1\n");return 0;}
    int l=1,r=n>>1,tl=ask(l),tr=ask(r);
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1,tm=ask(mid);
        if(tl*tm<0) r=mid-1,tr=tm;
        else l=mid+1,tl=tm;
    }
    cout<<"! -1"<<endl;
}