[学习笔记] Pick定理

定义

• 对于一个所有顶点均为整点的简单多边形，定义 $S$ 为这个多边形的面积， $i$ 为严格在这个多边形内部的格点数， $b$ 为在这个多边形边上的格点数，则三者满足关系式： $S = i + \frac{b}{2} - 1$

证明

• 以下提到的所有多边形均指所有顶点均为整点的简单多边形。
• 首先考虑证明以下两条引理，则 Pick 定理显然成立：

1. 若两个只有一条公共边的多边形满足 Pick 定理，则将两个多边形去掉公共边，合并成的一个多边形也满足 Pick 定理。
2. 任意一个三角形都满足 Pick 定理。

• 考虑 引理1 的证明：

1. 设合并的两个多边形为 $P,Q$，它们的公共边上的格点数（不包括端点）为 $c$。
   $\begin{aligned} S &= S_P + S_Q \\ &=i_P + i_Q - \frac{b_P + b_Q}{2} - 2\\ &= i - c + \frac{b - 2c - 2}{2} - 2\\ & =i + \frac{b}{2} - 1 \\ \end{aligned}$

• 引理1 得证。
• 考虑 引理2 的证明：

2. 已知面积为 1 的正方形满足 Pick 定理，由 引理1 得任意大小的矩形都满足 Pick 定理。
3. 将一个矩形拆分为两个全等的直角三角形，证明任意一个直角三角形都满足 Pick 定理。
4. 同样设两个直角三角形公共边上的格点数（不包括端点）为 $c$，原矩形为 $R$，拆分出的直角三角形为 $T$。
   $\begin{aligned} S_T &= \frac{S_R}{2} \\ &= \frac{i_R}{2} + \frac{b_R}{4} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{2i_T + c}{2} + \frac{2b_T - 2c - 2}{4} - \frac{1}{2} \\ &= i_T + \frac{b_T}{2} - 1\\ \end{aligned}$
5. 那么任意一个三角形显然可以由一个矩形拆去不多于3个的直角三角形得到，由类似于证明 引理1 的方法我们也能得到：

有两个只有一条公共边的多边形，若将这两个多边形去掉公共边，合并成的一个多边形满足 Pick 定理，且这两个多边形中有一个满足 Pick 定理，则另一个多边形也满足 Pick 定理。

• 引理2 得证。