问题背景：
现有一个单链表，要求随机选择链表中的一个节点并返回节点值，并且保持链表中每个节点被选中的概率相同。
刚看到这个问题，很多人肯定会很不屑：这有何难？先求得链表长度，再生成一个随机数，返回对应位置的节点的值不就完事：
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode(object):
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution(object):
def __init__(self, head):
"""
@param head The linked list's head.
Note that the head is guaranteed to be not null, so it contains at least one node.
:type head: ListNodeQ
"""
self.arr = []
while head:
self.arr.append(head.val)
head = head.next
def getRandom(self):
"""
Returns a random node's value.
:rtype: int
"""
return random.choice(self.arr)
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(head)
# param_1 = obj.getRandom()其实这是LeetCode 第382题，其还有进阶要求：
如果链表十分大且长度未知，如何解决这个问题？你能否使用常数级空间复杂度实现？
这么一来这个问题就有点意思了，绞尽脑汁也想不出来解法了。怎么办？这时候就需要用到今天的主角蓄水池抽样算法了 。先看看算法伪代码：
# 问题背景：假如现在有海量数据，无法一次将其读入内存，
# 数据长度也不可得知，暂且用N表示其长度。
# 现在需要从中抽样k个数据，要求抽样得到的k个数据，每个数据被选中的概率均为k/N.
def sample(Data, k):
# 先将Data中的前k个数据放入蓄水池pool
pool = [Data[i] for i in range(k)]
# 从第k+1个数据开始遍历(由于我们是从0开始的，因此索引为k的数就是第k+1个数了)
for i in range(k, len(Data)):
# 生成一个随机数，范围为[0,i]
r = random.randint(0, i)
# 如果生成的随机数落在[0,k)之间，则将当前位置的数据替换掉pool中索引为r+1的数
if r < k:
pool[r] = Data[i]
# 返回pool即为所求
return pool
看完这个伪代码，你是不是会一脸鄙夷：嗯？这么简单的算法就能符合上面的要求？
其实一开始我也是不信的，但是看完了严谨的（让人头大的）证明之后，我只能说：想出这个算法的人真是个人才！下面进行证明：
首先对初始就被选中的k个数进行证明（1≤i≤k）：
假设第i个数被选中且i≤i小于等于k（即i号球在一开始的时候是在pool中的），那么在选择第k+1个数之前，第i个数被选中的概率为1。在选择第k+1个数的时候，第k+1个数有k/(k+1)的概率被选中，同时在pool中的k个数会有一个被替换（假设为第i个数），那么第i个数被替换掉的概率为(1/k)*(k/k+1)=1/(k+1)，相反的，第i个数留在pool中的概率为k/(k+1)。
同理，在选择第k+2个数的时候，第i个数被替换掉的概率为1/(k+2)，其留在pool中的概率为(k+1)/(k+2)。
以此类推，到第N个数的时候，第i个数留在pool中的概率为(N-1)/N。
因此第i个数最终留在pool中的概率为：
接着证明i＞k的时候：
假设第i个数被选中且k＜i≤N，那么在选择第i个数时，第i个数被选进pool的概率为k/i。在选择第i+1个数的时候，将第i+1个数选进pool并且同时替换第i个数的概率为(1/k)*(k/i+1)=1/(i+1)，因此第i个数留下来的概率为i/(1+i)，因此从第i个数被选中到第i+1个数的过程中，第i个数仍然留在pool中的概率为：
同理，在第i+2个数的时候，第i个数仍然留在pool中的概率为：
以此类推，到第N个数的时候，第i个数仍然留在pool中的概率为：
因此第i个数最终留在pool中的概率为
最后，使用蓄水池抽样算法解决这个问题的代码如下：
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode(object):
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution(object):
def __init__(self, head):
"""
@param head The linked list's head.
Note that the head is guaranteed to be not null, so it contains at least one node.
:type head: ListNodeQ
"""
self.head = head
def getRandom(self):
"""
Returns a random node's value.
:rtype: int
"""
ans, node, index = self.head, self.head.next, 1
while node:
if random.randint(0, index) == 0:
ans = node
node = node.next
index += 1
return ans.val
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(head)
# param_1 = obj.getRandom()（完）
