[51nod 1444]打字的猴子

一、题目

二、解法

考虑 $dp$，设 $E[i]$为已经成功匹配到了 $i$，想要匹配到 $n$的期望，那么答案就是 $E[0]$，考虑多匹配一个字符后的影响，我们用 $trans$来描述它，转移如下：
$E[x]=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k E[trans[x][i]]+1$由于 $trans$并不是一定比 $x$小，需要高斯消元，时间复杂度 $O(n^3)$。

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考虑优化，考虑 $trans$的性质，很重要的一点是 $x$和 $fail[x]$的 $trans$除了 $s[x+1]$这一项（可以匹配），其它的值都是一模一样的，我们可以据此列出恒等式：
$E[x]-E[fail[x]]=E[trans[x][s[x+1]]]\times\frac{1}{k}-E[trans[fail[x]][s[x+1]]\times\frac{1}{k}$ $E[x]-E[fail[x]]=E[x+1]\times\frac{1}{k}-E[fail[x+1]]\times\frac{1}{k}$我们设 $G(x)=E(x)-E(fail[x])$，那么上式可以化简成：
$G(x)=G(x+1)\times \frac{1}{k}$ $G$其实是有边界的， $G(1)=E(1)-E(0)=-k$，那么 $G(x)=-k^x$，于是 $G(n)=E(n)-E(fail(n))=-k^n$，由于 $E(n)=0$，所以 $E(fail[n])=k^n$， $E(fail[fail[n]])=k^n+k^{fail[n]}$，以此类推即可得到答案 $E(0)$。

咕咕咕