树状数组基础
基本概念
何谓树状数组？
我想从其主要功能出发给出一个简单定义：能够快速完成单点修改以及区间求和功能的特殊数组。
在上面的话语需要注意一点，其依托的主要存储结构仍然是——数组。
要知道，在一些场合下总会出现数组求和的情形。如果数组的规模小还好，可一旦达到了某范围时，这时候求和就会变得十分缓慢（还有种情况就是求和过程也许还被包含在某个循环中，那么这时候，数据规模的增长甚至远超于线性递增），总之一句话，树状数组的存在，就是为了解决需要用到大量数据（次数）时，数组求和的一个需求。
当然，上面对其作用的总结仅仅是从最普遍的角度看去所得到的结论。要知道，算法与数据结构的结合，是会有无数种情况的。换言之，树状数组的作用不仅限于此。废话不多说，下面开始系统介绍树状数组的一些基础概念和核心操作。
首先要知道，树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构
其主要用于数组的单点修改以及区间求和
另外一个拥有类似功能的是线段树，两者的具体区别和联系如下：
1.在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树。
2.树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决。
3.树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作，其代码效率远高于线段树。
上面提到了一个新名词：lowbit
其实lowbit(x)就是求x最低位的1
接下来从图像上直观地区别下普通数组和树状数组
对于一般的二叉树,我们是这样画的
把位置稍微移动一下,便是树状数组的画法
上图其实是求和之后的数组,原数组和求和数组的对照关系如下（其中A数组是原数组，C数组是求和后的数组，C[i]代表子树的叶子结点的权值之和）：
如图可以知道：
C[1] = C[0001] = A[1];
C[2] = C[0010] = A[1]+A[2];
C[3] = C[0011] = A[3];
C[4] = C[0100] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5] = C[0101] = A[5];
C[6] = C[0110] = A[5]+A[6];
C[7] = C[0111] = A[7];
C[8] = C[1000] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
现在将上图中的十进制数字转换为二进制再绘制，如下：
可以发现：C[ i ] = A[ i-2k+1 ] + A[ i-2k+2 ] +… + A[ i ]（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度），例:
i=8(1000)时，k=3，则C[1000] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
i=6(0110)时，k=1，则C[110] = A[5]+A[6];
i=4(0100)时，k=2，则C[0100] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
可以发现其满足上面列出的式子
上面给出的图文的阐述，其实是为了引出树状数组种最核心的一个函数——lowbit
根据上面的公式以及最开始给出的lowbit的主要功能（求x最低位的1），相信有的同学可能已经看出了，lowbit(i)便是上面的2^k
因为2k后面一定有k个0
比如说25 --> 100000
正好是i最低位的1加上后缀0所得的值
也就是说 lowbit ( x )=2k
这个函数的主要功能就是为了进行快速跳表，以此达到能很快的求出整个数组中和的目的。这一点，我相信你们从前面给出的图就能直观得看出来了。
比如说求前6项数组的和(这里假设p=6，参考上图走一遍代码你就懂lowbit了)
int sum(int p)
{
int sum=0;
while(p>0){
sum+=C[p];
p-=lowbit(p);
}
}
首先函数进来是一个while循环
临时变量sum+=C[ 6 ] ，这时候sum就已经加了A[ 5 ]和A[ 6 ]的值了
接着p更新为p-=lowbit(6)(注意lowbit(6)=2)，这时p=4
然后继续执行while循环中的内容
即sum+=C[ 4 ]，到这里sum实际上就已经把A[ 1 ]、A[ 2 、]A[ 3 ]、A[ 4 ]的值都加进去了，也就是说完成了整个数组的求和了）
而接下来p更新为p-=lowbit(4)(注意lowbit(4)=4)，这时p=0，退出循环，完成求和
可以看到，在一个长度为6的数组中，求和时，居然仅仅只求了两次和（和上图中的情形是一致的）
而在普通数组中，必然会执行6次的求和才会得到结果
因此，树状数组大大地加快了求和的进程
上面就是一个用于方便大家理解和认识树状数组的典型列子
下面给出lowbit函数的具体代码：
int lowbit (int x) { return x&(-x); }
极致简短！！！现在我们来理解一下这行代码（基于函数本身的意义，从位（即根本）出发的阐述，有点打脑壳，如果想要学透彻那就看，否则建议跳过，反正做题你只要知道怎么用就行了）
首先要知道,对于一个数的负数就等于对这个数取反+1
以二进制数11010为例:11010的补码为00101,加1后为00110,两者相与(&)便是最低位的1
其实很好理解,补码和原码必然相反,所以原码有0的部位补码全是1,补码再+1之后由于进位那么最末尾的1和原码最右边的1一定是同一个位置(当遇到第一个1的时候补码此位为0,由于前面会进一位,所以此位会变为1)
所以我们只需要进行a&(-a)就可以取出最低位的1了
主要功能函数及其实现
单点更新（插值）
继续看开始给出的图
此时如果我们要更改A[1]
则有以下需要进行同步更新：
| 1(001) | C[1]+=A[1] | |
|---|---|---|
| lowbit(1)=001 | 1+lowbit(1)=2(010) | C[2]+=A[1] |
| lowbit(2)=010 | 2+lowbit(2)=4(100) | C[4]+=A[1] |
| lowbit(4)=100 | 4+lowbit(4)=8(1000) | C[8]+=A[1] |
换成代码就是:
void add(int pos,int value,int N) //pos为更新的位置,value为更新后的数,n为数组长度
{
while(pos<=N){
C[pos]+=value;
pos+=lowbit(pos);
}
}
区间查询（求和）
下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;
前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
再举个例子 i=5
sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;
前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
(细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用)
下面给出区间查询的代码:
int sum(int pos)
{
int ans=0;
while(pos>0){
ans+=C[i];
pos-=lowbit(pos);
}
return ans;
}
结合代码分析：
对于i=7 进行演示
7(111)
ans+=C[7]
lowbit(7)=001
7-lowbit(7)=6(110)
ans+=C[6]
lowbit(6)=010
6-lowbit(6)=4(100)
ans+=C[4]
lowbit(4)=100
4-lowbit(4)=0(000)
对于i=5 进行演示
5(101)
ans+=C[5]
lowbit(5)=001
5-lowbit(5)=4(100)
ans+=C[4]
lowbit(4)=100
4-lowbit(4)=0(000)
