POJ - 3764 The xor-longest Path（树上两点路径边权异或和，01字典树）

链接：POJ - 3764 The xor-longest Path

题意：

给出一棵 $n(1\le n\le100000)$个结点的树，每条边具有边权 $w(0\le w\le 2^{31})$，结点编号从 $0$到 $n-1$。要求求出 异或和最大的路径（即路径上所有边权 $w$异或和最大），所有结点均可作为起点、终点。

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分析：

由于异或的性质，其实只需要 任选一点作为根结点，如上图的 $A$，然后 DFS算得所有其他点到A点的异或和 $sum_{A-X}$ 即可。

那么则有，任意两个点路径上的异或和 $sum_{X-Y}=sum_{A-X}\oplus sum_{A-Y}$

因为异或时，相同部分的路径边权 $w$相同，异或得 $0$，不相同部分相互异或，最后与 $0$异或，不变。

例如 求 $F$到 $J$路径上的边权异或和 $sum_{F-J}$

$sum_{A-F}=w_{A-C}\oplus w_{C-F}$
$sum_{A-J}=w_{A-C}\oplus w_{C-E}\oplus w_{E-J}$


$\implies sum_{A-F}\oplus sum_{A-J}=(w_{A-C}\oplus w_{C-F})\oplus (w_{A-C}\oplus w_{C-E}\oplus w_{E-J})$
$= (w_{A-C}\oplus w_{A-C})\oplus(w_{C-F}\oplus w_{C-E}\oplus w_{E-J})=0\oplus(w_{C-F}\oplus w_{C-E}\oplus w_{E-J})$
$=w_{C-F}\oplus w_{C-E}\oplus w_{E-J}=sum_{F-J}$

综上，该题只需要DFS一次，每次遍历到一个结点X就先在01字典树中找到与 $sum_{A-X}$异或最大的，然后把 $sum_{A-X}$放入01字典树中即可。

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以下代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+50;
const int max_base=31;
int n;
struct edge
{
    int u;
    int v;
    int w;
    int next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],s,cnt;
void addedge(int u,int v,int w)
{
    e[cnt]=edge{u,v,w,head[u]};
    head[u]=cnt++;
    e[cnt]=edge{v,u,w,head[v]};
    head[v]=cnt++;
}
int ch[31*maxn][2],val[31*maxn],tot;
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    cnt=0;

    tot=1;
    ch[0][0]=ch[0][1]=0;
    val[0]=0;
}
void ins(int x)
{
    int u=0;
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int cur=(x>>i)&1;
        if(!ch[u][cur])
        {
            ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;
            val[tot]=0;
            ch[u][cur]=tot++;
        }
        u=ch[u][cur];
    }
    val[u]=x;
}
int query_max(int x)
{
    int u=0;
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int cur=(x>>i)&1;
        if(ch[u][cur^1])
            u=ch[u][cur^1];
        else
            u=ch[u][cur];
    }
    return x^val[u];
}
int ans;
void dfs(int u,int pre,int sum)
{
    ans=max(ans,query_max(sum));
    ins(sum);
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].v!=pre)
            dfs(e[i].v,u,sum^e[i].w);
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        init();
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
            addedge(u,v,w);
        }
        ans=0;
        dfs(0,-1,0);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}