2019CCPC网络赛 HDU6705 - path（图论，优先队列）

链接：HDU6705 - path

题意：

给出一个带边权有向图，含有 $n$个结点 $m$条边，共 $q$次询问，每次询问在所有路径中第 $k$小的路径边权和是多少？（一条边可以走无限次）

• $(1≤n,m,q,k≤5∗10^4)$

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分析：

每次 把边权和尽量小的路径状态 放入优先队列中，每次从队首取出当前最小路径（即第 $i$小），利用此路径状态 找到接下来尽量小的路径状态。

先将所有结点的 出边按照边权从小到大排序，将所有点 最小出边 放入优先队列中。

假设一条路径是 以 $u\rarr v$结尾，其 路径和为 $sum$，且 $u\rarr v$是 $u$的所有出边中边权第 $cur$小 的，该路径下一条可能的尽量小路径有 $2$种情况：

1. 从 $v$结点开始，走其最小出边，则令 $sum+g[v]_{min}$；
2. 从 $u$结点开始，走其 下一条边权较大于 $u\rarr v$的出边（即第 $cur+1$小的出边），则令 $sum-g[u][cur]+g[u][cur+1]$

所以需要记录的路径状态有： $u,v,cur,sum$。

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5e5+50;
int n,m,q;
LL ans[maxn];
struct edge
{
    int to;
    LL w;
};
vector<edge> g[maxn];
bool cmp(const edge &x,const edge &y)
{
    return x.w<y.w;
}
struct node
{
    int u,v;
    int cur;
    LL sum;
    friend bool operator < (const node &x,const node &y)
    {
        return x.sum>y.sum;
    }
};
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i].clear();
}
void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sort(g[i].begin(),g[i].end(),cmp);
    priority_queue<node> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!g[i].empty())
            q.push(node{i,g[i][0].to,0,g[i][0].w});
    }
    for(int i=1;i<=50000;i++)
    {
        int u=q.top().u,v=q.top().v,cur=q.top().cur;
        LL sum=q.top().sum;
        q.pop();
        ans[i]=sum;
        if(!g[v].empty())
            q.push(node{v,g[v][0].to,0,sum+g[v][0].w});
        if(cur+1<g[u].size())
            q.push(node{u,g[u][cur+1].to,cur+1,sum-g[u][cur].w+g[u][cur+1].w});
    }
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
            g[u].push_back(edge{v,w});
        }
        solve();
        while(q--)
        {
            int k;
            scanf("%d",&k);
            printf("%lld\n",ans[k]);
        }
    }
    return 0;
}