牛客挑战赛34 - D 拉普兰德的愿望（曼哈顿距离转切比雪夫距离）

链接：牛客挑战赛34 - D 拉普兰德的愿望

题意：

给出平面上 $N(\le100,000)$个点，坐标绝对值不超过 $L(\le50,000)$，求曼哈顿距离不小于 $d(\le10,000,000)$的点对共有多少？

对于点对 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，其曼哈顿距离即为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$

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分析：

参考Blog：传送门

曼哈顿距离： $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
切比雪夫距离： $\max(|x_1−x_2|,|y_1−y_2|)$

• 将一个点 $(x,y)$的坐标变为 $(x+y,x−y)$后，原坐标系中的曼哈顿距离 $=$新坐标系中的切比雪夫距离
• 将一个点 $(x,y)$的坐标变为 $(\frac{x+y}{2},\frac{x−y}{2})$后，原坐标系中的切比雪夫距离 $=$新坐标系中的曼哈顿距离

在曼哈顿距离中，距离原点为 $1$时，构成下图：

而转化为切比雪夫距离后，距离源点为 $1$时，构成下图：

• 应注意，在转化后，虽然 坐标发生改变，但是对应计算后的 距离并未改变；

因此，该题将曼哈顿距离转化为切比雪夫距离后，对于每一个点，只需要计算 以其为中心，边长为 $2d$的正方形区域内（不包括边缘）有多少个点 即可。

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long LL;
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
int N,d,L;
vector<int> v[2*maxn];
int c[maxn*2];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void updata(int i,int k)   //令a[i]+k
{
    while(i<=4*L)
    {
        c[i]+=k;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int query(int i)     //sum[l~r]=query(r)-query(l-1)
{
    int ret = 0;
    while(i>0)
    {
        ret+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&N,&d,&L);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int x,y,xx,yy;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        xx=x+y+2*L;     //转化，并加上2*L将其转为正数
        yy=x-y+2*L;
        v[xx].push_back(yy);   //v[x]中存放横坐标为x的点的纵坐标y
    }
    LL ans=0;
    for(int x=0;x<=4*L;x++)    //对每个点，仅查找其左方(正方形左半边）有多少范围内的点
    {
        for(auto y:v[x])
        {
            ans+=query(min(4*L,y+d-1))-query(max(0,y-d));  //查找范围内的点数
            updata(y,1);                                   //更新范围内的点
        }
        if(x-d+1>=0)
        {
            for(auto y:v[x-d+1])    //删除超出范围的点
                updata(y,-1);
        }
    }
    printf("%lld\n",1LL*N*(N-1)/2-ans);  //N*(N-1)/2为总的点对数量
    return 0;
}