数论之阶与原根讲解

前言：

本来想写BSGS算法，但是笔者今天想打游戏 感觉先写原根会更好一点，所以我们今天重点讨论一下什么是原根、哪些整数有原根、原根的性质和求解。
 

提要：

为了减少后面的阅读障碍，先简单介绍一下欧拉函数 $\varphi(x)$，主要部分后面放积性函数那介绍。(ps:书上符号写的是 $\phi(x)$，但网上写的是 $\varphi(x)$，不过这不重要)
欧拉函数 $\varphi(x)$的函数值是，小于 $x$且与 $x$互质的正整数的个数。
比如 $\varphi(6)=2$，因为小于 $6$的正整数中，仅有 $1$与 $5$与其互质。
容易发现，当 $p$为素数时，有 $\varphi(x)=p-1$。
还有欧拉定理：若 $gcd(a,n)=1$，则 $a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\;p)$。
 
差不多先这些，开始正文。
 

整数的阶：

什么是阶？
设 $a$和 $n$是互素的整数， $a\neq 0,n>0$，使得 $a^{x}\equiv1(mod\;n)$成立的最小正整数 $x$，称为 $a$模 $n$的阶，符号表示为 $ord_{n}a$。
 
比如要求 $2$模 $7$的阶，我们一一列举，
$2^{1}\equiv2(mod\;7)，2^{2}\equiv4(mod\;7)，2^{3}\equiv1(mod\;7)$。
那么我们称 $2$模 $7$的阶就是 $3$，记为 $ord_{7}2=3$。
 
现在我们观察方程 $a^{x}\equiv1(mod\;n)$。
那么显然根据欧拉定理，我们可以知道 $\varphi(n)$是方程的一个解，但它未必是最小的，所以不一定是阶，而当 $\varphi(n)$是 $a$模 $n$的阶时，我们称 $a$为 $n$的一个原根，这个放后面介绍。

现在继续来讲阶。
 
定理一：若 $gcd(a,n)=1$，则 $x_{0}$是方程 $a^{x}\equiv1(mod\;n)$的一个解的充要条件是 $ord_{n}a|x$。(其中 $|$是整除符号，表示 $ord_{n}a$整除 $x$)
这个必要性很好证明，既然 $a^{ord_{n}a}\equiv1(mod\;n)$，那 $a^{k\times ord_{n}a}\equiv1(mod\;n)$当然也成立。
然后充分性，假设存在 $x1$不整除 $x_{0}$且满足方程，令 $x_{1}=k\times ord_{n}a+d$(其中 $d$不整除 $ord_{n}a$)满足方程，那么 $d$一定比 $ord_{n}a$小，且满足 $a^{d}\equiv1(mod\;n)$，那它才是原根嘛。
这样就证好了。

定理二：若 $gcd(a,n)=1$，则 $ord_{n}a$能整除 $\varphi(n)$。
前面看下来应该也能想到，且由定理一发现显然嘛。
这时候我们容易想到一个 $o(\sqrt{n} log)$求阶的办法，因为 $n$的阶一定是 $\varphi(n)$的因子，所以可以暴力枚举其因子，再看看是不是满足条件。

定理三：若 $gcd(a,n)=1$，则 $a^i\equiv a^j(mod\;n)$的充要条件是 $i\equiv j(mod\;ord_{n}a)$。
定理比较重要，自己意会一下。

定理四：若 $ord_{n}a=t$，且 $u$为正整数，则有 $ord_{n}(a^{u})=\frac{t}{gcd(t,u)}$ 。
打个比方体会一下， $2^3\equiv1(mod\;7)$,那么就有 $8^1\equiv1(mod\;7)$。其实就是这个 $3$的因子，这样想就容易理解多了吧。
 
 

原根：

当 $a$模 $n$的阶为 $\varphi(n)$，也就是说当且仅当 $x$是 $\varphi(n)$的倍数，使得 $a^{x}\equiv1(mod\;n)$成立，此时称 $a$为 $n$的原根。
 
那么知道了 $n$的原根 $a$后，有什么好处呢，可以举一个例子。
我们举998244353的原根3， 我们举一个素数 $7$的一个原根 $3$，然后列举 $3$的幂次模 $7$。
$3^{1}\equiv3(mod\;7)，3^{2}\equiv2(mod\;7)，3^{3}\equiv6(mod\;7)，3^{4}\equiv4(mod\;7)，3^{5}\equiv5(mod\;7)，3^{6}\equiv1(mod\;7)$。
然后发现这些余数构成了一个模 $7$的完全剩余系 $1,2,3,4,5,6$，也就是对于任意 $a$，都可以找到 $x_{0}$使得 $3^{x_{0}}\equiv a(mod\;7)$。
这是素数的情况，现在我们来康康非素数的情况，举 $18$的一个原根 $5$。然后列举 $5$的幂次模 $18$。
$5^{1}\equiv5(mod\;18)，$
$5^{2}\equiv7(mod\;18)，$
$5^{3}\equiv17(mod\;18)，$
$5^{4}\equiv13(mod\;18)，$
$5^{5}\equiv11(mod\;18)，$
$5^{6}\equiv1(mod\;18)。$
$5^{7}\equiv5(mod\;18)，$
$5^{8}\equiv7(mod\;18)，$
$5^{9}\equiv17(mod\;18)，$
$5^{10}\equiv13(mod\;18)，$
$5^{11}\equiv11(mod\;18)，$
$5^{12}\equiv1(mod\;18)。$
$5^{13}\equiv5(mod\;18)，$
$5^{14}\equiv7(mod\;18)，$
$5^{15}\equiv17(mod\;18)，$
$5^{16}\equiv13(mod\;18)，$
$5^{17}\equiv11(mod\;18)，$
$5^{18}\equiv1(mod\;18)。$
很容易发现以 $6$个为一组，那这个 $6$是什么呢？
其实是 $\varphi(18)=6$。然后出现的数字 $1,5,7,11,13,17$，正是与 $18$互质的那 $6$个数啊。
那么前面素数的情况也说得通了。
所以我们就可以得到，
定理一：若 $gcd(a,n)=1$，则 $a^{1},a^{2},……,a^{\varphi(n)}$构成模 $n$的既约剩余系。
大概懂了就不证明了。
而当 $p$为素数时，我们就可以将求解方程 $x^{5}\equiv a(mod\;p)$的问题代换为求解 $g^{5x}\equiv a(mod\;p)$，其中 $g$是 $p$的原根，因为 $g$的幂次是模 $n$的完全剩余系，所以可以用 $g^{x}$来代换 $x$，这样我们只要求出新方程的 $x_{0}$，那么原方程的解就可以求出来了。
 
下一个，
定理二：如果一个数 $n$有原根，那么他有多少个不同余的原根，
答案是 $\varphi(\varphi(n))$个。
伪证明：由前面阶那里的定理四，我们可以知道 $ord_{n}(a^{u})=\frac{t}{gcd(t,u)}$，那么当 $a$为 $n$的原根时，就有 $ord_{n}a=\varphi(n)$。
于是我们得到， $ord_{n}(a^{u})=\frac{\varphi(n)}{gcd(\varphi(n),u)}$。
所以要使 $ord_{n}(a^{u})$等于 $\varphi(n)$，就要满足 $gcd(\varphi(n),u)$，在 $1$到 $\varphi(n)-1$范围里自然就有 $\varphi(\varphi(n))$个满足条件的。

吃饭去了，回来再写。

现在研究哪些数是有原根的，也就是原根的存在性。
因为刚吃了饭，我懒了。
先证明素数都是有原根的。
再证明奇素数的幂都是有原根的。
然后讨论关于 $2$的幂次，发现 $2$和 $4$是有原根的，其他 $2$的幂次都没有原根。
然后再发现 $2$乘上奇素数的幂也是有原根的。
最后再证明剩下的都没有原根。
于是，得出结论：
定理三： $2$和 $4$，和奇素数的正整数幂次 $p^{k}$，以及 $2$乘上奇素数的正整数幂次 $2p^{k}$都是有原根的。
 
 
最后，再研究一下怎么求 $p$的原根。传送门
先给出一种暴力的解法。（没有第二种了）
先判断有无原根。
$2$的原根是 $1$， $3$的原根是2， $4$的原根是 $3$直接特判掉。
然后我们暴力枚举 $[2,p-1]$，再判断它是不是 $p$的原根，枚举的时候当然还要保证与模数互质。
至于要判断 $i$是不是 $p$的原根，只要看是否存在 $x_{0}$比 $\varphi(p)$小，且满足 $i^{x_{0}}\equiv 1(mod\;p)$。
但是我们不至于再去一个一个枚举 $x_{0}$，因为我们知道它的阶是满足方程的，而阶的倍数也是满足方程的。所以我们只要将 $\varphi(p)$质因子分解成 $p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}…p_{n}^{k_{n}}$。
然后枚举每个质因子，判断是否存在 $i^{\frac{\varphi(p)}{p_{j}}}\equiv1(mod\;p)$。若存在，说明阶比 $\varphi(p)$小，则不是原根；反之，则是原根。

大力出奇迹，不愧是大力。
最后贴代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

ll fpow(ll a,ll n,ll p)
{
    ll sum=1,base=a%p;
    while(n!=0)
    {
        if(n%2)sum=sum*base%p;
        base=base*base%p;
        n/=2;
    }
    return sum;
}

vector<ll> getPrimFac(ll n)
{
    vector<ll>fac;
    fac.clear();
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            fac.push_back(i);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)fac.push_back(n);
    return fac;
}

bool hasRoot(ll n)
{
    if(n==2||n==4)return true;
    if(n<=1||n%4==0)return false;
    ll num=0;
    while(n%2==0)n/=2;
    for(ll i=3;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            num++;
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)num++;
    if(num==1)return true;
    return false;
}

ll getPhi(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

ll getRoot(ll n)
{
    if(!hasRoot(n))return -1;//不存在原根返回-1
    if(n==2)return 1;
    if(n==3)return 2;
    if(n==4)return 3;
    ll w=getPhi(n);
    vector<ll>fac=getPrimFac(w);
    for(ll i=2;i<w;i++)
    {
        if(gcd(i,n)!=1)continue;
        ll is=1;
        for(ll j=0;j<fac.size();j++)
        {
            if(fpow(i,w/fac[j],n)==1)is=0;
        }
        if(is)return i;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    ll p;
    scanf("%lld",&p);
    printf("%lld\n",getRoot(p));
    return 0;
}